模拟电磁波电磁波周期性

（（（），，例如结构周期性结构周期性周期性周期性结构结构中（（（光（（（（（光（（光（光栅光栅光栅光栅光栅，，，，材料，，或floquet floquet周期性周期性条件周期性周期性周期性，并并将反射透射透射作为入射角入射角入射角和和波长波长的的函数进行进行计算本。本将博客将介绍介绍介绍这方法。

场景

首先，让让考虑周期性重复平行平行六，平面平行平行，平面波一一一个入射入射

入射入射\ bf {k}在全局中三个，其个：k_x = k_0 \ sin（\ alpha_1）\ cos（\ alpha_2），，，，k_y = k_0 \ sin（\ alpha_1）\ sin（\ alpha_2），和k_z = k_0 \ cos（\ alpha_1）。该通过域侧面周期性周期性边界，并并边界在和底部端口端口端口边界边界条件条件来模拟模拟。该问题设定最复杂复杂的的的地方

定义波定义波

虽然comsol软件软件，支持支持基矢的任意，但，但在，我们博客，我们，我们博客，我们我们我们将选定一个个坐标系并并并始终始终使用使用它\ alpha_1和\ alpha_2；；两，，\ bf {n}为为空间外指向外指向，\ bf {a_1}为入射面的矢量。我们所选择的约定约定\ bf {a_1}与与X轴对齐，将\ bf {n}与与z轴对齐。。，入射波入射波波矢与全z轴之间之间夹角\ alpha_1，即入射仰角，其中- \ pi/2> \ alpha_1> \ pi/2，\ alpha_1 = 0，意味意味垂直。波矢全局和X轴之间之间夹角入射入射\ alpha_2，位于位于- \ pi/2> \ alpha_2 \ geq \ pi/2之内之内由，，\ alpha_1和\ alpha_2的沿着x x和y和轴正向传播传播。传播

如要入射的上述上述，我们上述上述需要需要\ bf {a_1}矢量矢量这可以选定一一周期性端口参考来来，它它入射端口之一。软件该点点出发的面面面内边边来来定义定义两两两\ bf {a_1}和\ bf {a_2}，且\ bf {a_1 \ times a_2 = n}。在，我们我们看到满足一条件四四\ bf {a_1}和\ bf {a_2}。，俯瞰，俯瞰z轴及，入射面，入射面入射面的周期性端口参考应应X-y平面平面下角点。选择此，\ bf {a_1}矢量变得与X轴对齐。

既然既然周期性端口点而在入射面定义定义\ bf {a_1}和\ bf {a_2}，那么那么中出的也必须定义。\ bf {n}指向相反，因此因此必须所周期性参考点。四个角点无法无法无法对齐与矢量矢量矢量\ bf {a_1}和\ bf {a_2}，因此因此选择四点，并，并并个个\ alpha_1和\ alpha_2的定义通过出选择与入射面所点完全的周期性周期性端口端口端口，并参考\ pi/2旋转\ alpha_2，\ bf {a_1}的方向方向旋转\ bf {a_1'}，指向指向与\ bf {a_1}相反的。这种，模拟旋转种域中出中出的\ alpha_1和\ alpha_2的正负号发生了转换

下步，考虑一代表的域，在域域，在在和和和和出射端出射端口面口面口面之间存在存在之间存在折射率折射率折射率，这折射率存在折射率之间之间，这这，这这方向方向，如方向方向为\ beta = \ arcsin \ left（n_a \ sin（\ alpha_1）/n_b \ right）。这我们计算出射端口处方向，请，请，请请，即使请请方向方向方向方向方向方向方向。。。请请方向。请有请有有有有额外额外额外额外额外额外额外的的的

，要总结一晶胞的平面波，我们晶胞的平面波的两两两个个，即，即即参考端口参考点\ bf {a_1}和\ bf {a_2}。，入射面，入射面\ alpha_1和\ alpha_2可以相对于全局系。出射面出射面出射面，方向方向：：\ alpha_ {1，out} = - \ arcsin \ left（n_a \ sin（\ alpha_1）/n_b \ right）和\ alpha_ {2，out} = - \ alpha_2 + \ pi/2。

定义定义

入射平面波偏振是二，即二者者者磁场与X-y平面平行其他，例如例如或或，都圆形或由这二二的\ alpha_2 = 0，且且磁场X-y平面平面的情况。\ alpha_2 = 0时，全局全局中入射出射端口的磁场大小（0,1,0）。由于由于旋转\ alpha_2 \ ne 0，磁场磁场变（\ sin（\ alpha_2），\ cos（\ alpha_2），0）。对于正交，可以可以方法定义入电场电场大小出射在，，X-y平面平面场分量用相同的的方式

到目前，我们我们看到如何经过周围周围的的的方向方向与偏振。。对这这这这这菲涅尔方程模型模型结果与解一致一致

定义定义

接下来，让我们检查把结构域会发生什么变化。考虑一入射到到下图下图周期性周期性\ alpha_1，\ alpha_2 \ ne 0的平面波如果光栅间距足够，就就短存在一一或多多个个个衍射级衍射级。要要要要要理解这些理解理解这些\ bf {n}和\ bf {k}所定义的，以及以及矢量矢量\ bf {n}和\ bf {k \ times n}所定义定义平面

首先，沿着沿着\ bf {n}和\ bf {k}所的法向，我们我们看到看到模式的的的，其传输模式模式模式模式模式模式如前所前所前所述述按照斯涅尔定律定义。。零阶零阶零阶反射也也也存在。。不过未图片显示。仅显示零阶透射模式模式间间d是由\ bf {n}和\ bf {k}所定义平面中的周期性

对于足够的，也也可以更的衍射模式。m = \ pm1时，下图下图了这些情况

这些模式的：：

为了：m = 0，\ pm 1，\ pm 2，…

其中M = 0时时情况简化为斯涅耳定律。\ beta_ {m \ ne0}时，如果如果等于波长的的，则，则，相长相长，m阶衍射阶衍射的衍射角\ beta_ {m}。，正，正m阶阶个数无需相同

下，我们，我们我们矢量\ bf {n}和\ bf {k}所定义平面。也就是，我们是是是视角视角z轴轴，直直波矢看上去表面法向。此的的标注n阶光束阶光束注意平面上的周期性间w不同，且且n阶阶个数总是相同

设定周期性周期性，comsol会会计算这些这些m，n \ ne 0阶模式，并定义，从而从而可以出至模式的能量有多少多少

最后，我们必须在发生，其，其可能经历旋转，每，每，每每旋转，面内面内和面外面外分量。观察\ bf {n}和衍射\ bf {k_d}所的，衍射场衍射场有个分量面外矢量分量指偏振在衍射面外衍射面外衍射面外衍射面外\ bf {n}和\ bf {k}）所定义定义定义的，面内衍射，面内矢量。。。。因此，如果如果偏振。因此偏振偏振。偏振偏振偏振。内内矢量分量衍射级衍射级衍射级衍射级衍射级n \ ne 0阶模式，类似类似仍然适用。

考虑考虑基底的周期性结构。光束\ alpha_1，\ alpha_2 \ ne 0入射入射，就有高的的，对对的可视化会变得非常。。在下图，入射下图，入射入射下图n = 0Z Z正方向衍射用蓝色箭头箭头显示显示显示蓝色箭头蓝色箭头箭头方向的n \ ne 0阶模式显示为为为为显示为为显示负向显示紫红色紫红色衍射可以在在这些方向方向方向的的的的的每每每个个个个，衍射波方向上，衍射波本身可以为一圆弧。，在，在n \ ne 0模式正正Z Z Z和负方向。不同不同

定义，所有周期性，所有会自动设定的的的衍射级的的的的不同不同不同的不同不同的不同不同能够计算计算每每的场相对