在旋转时，稳定性至关，因为至关至关至关导致故障旋转会会因为圆盘的对称称，，，的的的不对的响应。的角度来，重要重要是是要确保潜在的的不稳定模式模式模式不在在机器的的工作工作范围内内内本篇。。本篇®软件预测转子系统的不稳定性
什么是稳定性
稳定性可以定义系统移回初始平衡的趋势稳定性可：
- 静态
- 动态动态
下面，我们我们这两类型的的稳定性
静稳定性是基于从状态干扰的的的，可的的分为：
- 静态：扰动扰动，物体物体回到回到平衡
- 静态静态：物体物体扰动方向方向方向，而继续继续方向不平衡位置平衡
- 中性：受受，物体物体在扰动保持保持
稳定性分类。
动态动态是基于从位置位置干扰运动运动时间，可时间，可分为分为以下以下
- 动态：系统系统运动随时间而
- 动态不：系统系统运动随着时间而
- 动态：系统的运动时间保持不不
这些运动大致分为：振荡振荡和非振荡振荡
不同阻尼数值振荡振荡（左）和（右）的的
现在我们了术语，接下来接下来我们了解的定义和系统系统不不的的的
定义稳定性
惯性运动一般动力方程：
其中，，[\ textbf m]，[\ textbf c]，[\ textbf k]分别分别，阻尼和刚度；\ {\ textbf u \}，\ {\ textbf f \}表示表示移和力矢量
动力学方程可以分为以下类之一：
- 无无
- 过过
- 欠阻尼
- 临界临界
如果正是，那么正正的那么的解也有有有界限的的并且并且并且表现表现表现良好良好。良好良好良好。。然而，在，在，系数看-质量-质量-阻尼器系统系统各种下，如下的下，如如下图
不同不同和阻尼的响应响应
从的，我们，我们可以，当，当刚度负值负值负值系统稳定实现。。。，情况并非，情况，尤其是总是，尤其是当陀陀陀陀陀陀螺螺螺螺效应效应效应出现出现出现时时时。。。个个自行车例子自行车
线性稳定性可以系统系统的不稳定性线性分析框架包括以下：
典型典型稳定性分析工作流程流程
一旦特征值，稳定性稳定性根据的来来决定决定
更好是比较，而比较，对数数，对，对对数为\ delta = -2 \ cdot \ pi \ cdot \ frac {\ sigma} {\ omega}。。使用对衰减量系统的分类分类：
| 值 | 行为行为 |
|---|---|
| \ delta <0 | 不稳定 |
| \ delta> 0 | 稳定稳定 |
不稳定稳定条件
为了计算数衰，我们我们可以将写成\ delta = -2 \ cdot \ pi \ cdot \ frac {\ re（\ lambda）} {\ im（\ lambda）}，如果如果，那么那么应该被写\ delta = 2 \ cdot \ pi \ cdot \ frac {\ im（\ omega）} {\ re（\ omega）}。
转子动力学问题的运动
转子动力不同于传统振动分析。项出现因为运动运动方程中存在存在附加附加，这加速的加速加速加速的加速
在转子动力学有两可以解决问题。。实心旋转坐标系坐标系坐标系中中坐标系坐标系中坐标系坐标系坐标系中中坐标系转子转子转子转子在在在在固定固定固定固定坐标系坐标系坐标系中中形成形成。。基于基于的所的
| 固定坐标（梁转子） | 旋转（实心转子） |
|---|---|
| 陀陀 | 科里奥利力 |
| 无离心软化；用线表示的几何 | 离心软化 |
| 无离无离 | 离心离心 |
| 内部阻尼 | 外部阻尼 |
现在，让让看看项影响刚度和阻尼矩阵
实心转子
实心坐标系中，因此因此因此在中不会观察观察的的物理物理旋转。。在动量动量平衡平衡方程方程平衡方程平衡中方程，所以所以中运动方程：
其中，，\ textbf m是质量矩阵\ textbf c_c是科里奥利力效应贡献（取决于转子）；\ textbf c是（固定）和（旋转）阻尼阻尼的的\ textbf k_c是旋转坐标系阻尼的（取决于取决于）；\ textbf k是由刚度外部刚度，和应力引起的刚度矩阵\ textbf f是旋转坐标系中的力
对于对于，没有螺项；，会会得到（与与的称部分结合结合）），以及以及矩阵称项中阻尼的贡献
梁转子
梁转子梁转子坐标系中。旋转标系的方程方程：
其中，，\ textbf m是质量矩阵\ textbf c_g是陀螺效应贡献（取决于转子）；\ textbf c是（静止）和（旋转）阻尼阻尼的的\ textbf k_c是固定坐标系内部的的（取决于转子速度）；\ textbf k是刚度矩阵\ textbf f是是，包含力包含力（梁上的弯矩）。
在梁转子，陀陀了的反对，内部反对，内部内部阻尼刚度刚度矩阵矩阵
刚度刚度阻尼系数影响转子转子
考虑一一与X- 轴对齐的。转子上的局部y和z方向与y和z方向相同方向
显示转子系统组件的示意图
对于转子，横向动力方程因此；，它们因此，它们轴轴向向向和扭转扭转振动的方程方程方程更。本节中中中中中对称，两两都对称轴承。直接和交叉合项合项
带有带有交叉耦合项的。
如果我们各方向力写成矩阵矩阵矩阵，可以写：：
\ textbf f_y \\
\ textbf f_z
\ end {bmatrix} = -
\ begin {bmatrix}
\ textbf k_ {yy}＆\ textbf k_ {yz} \\
\ textbf k_ {zy}＆\ textbf k_ {zz}
\ end {bmatrix}
\ begin {bmatrix}
\ textbf y \\
\ textbf z
\ end {bmatrix} -
\ begin {bmatrix}
\ textbf c_ {yy}＆\ textbf c_ {yz} \\
\ textbf c_ {zy}＆\ textbf c_ {zz}
\ end {bmatrix}
\ begin {bmatrix}
\ Mathbf {\ dot {y}} \\
\ Mathbf {\ dot {z}}}
\ end {bmatrix}
所以，，y和z方向方向力写：
\ textbf f_y = -k_ {yy} \ cdot \ cdot \ textbf y -k_ {yz} \ cdot \ cdot \ textbf z -c_ -c_ {yy} \ dot \ dot \ dot \ dot {\ textbf y} -z} \\
\ textbf f_z = -k_ {zy} \ cdot \ cdot \ textbf y -k_ {zz} \ cdot \ cdot \ textbf z -c_ -c_ {zy} \ dot \ dot \ dot \ dot {\ textbf y} -Z}
\ end {matrix}
让每对对转子系统横向横向的单独。输入根据输入根据根据输入。根据。根据。根据根据种类型类型类型的的：向前类型：向前向前向前：向前向前向前向前向前向前，而而后则相反
显示显示旋转的示意图
直接直接
直接（\ textbf k_ {yy}，\ textbf k_ {zz}）影响偏转的力系数系数，那么系数系数系数方向方向与偏转方向相反相反。如果如果如果系系系为负系数值数值数值
正正阻尼（\ textbf c_ {yy}，\ textbf c_ {zz}）产生一矢量的，方向方向的速度相反。如果，力如果数值，力力
直接刚度阻尼系数的（前前）。
交叉耦合
如果\ textbf k_ {yz}，\ textbf k_ {zy}同号，根据系数，它们它们会一与转向量方向相同相反如果的如果如果\ textbf k_ {yz}，\ textbf k_ {zy}的值，就就使旋转变成。
如果\ textbf k_ {yz}，\ textbf k_ {zy}有的，则则会一个偏转向量的。方向系数的的的的
交叉耦合系数的（正正）。
如果\ textbf c_ {yz}，\ textbf c_ {zy}同号，它们它们个垂直于的。取决于系数符号。\ textbf c_ {yz}，\ textbf c_ {zy}不同不同，它产生个偏偏线，符号，符号符号取决于系数。这会会产生或或去去效应效应。\ textbf c_ {yz}> 0，\ textbf c_ {zy} <0，力力与矢量相反，会会效应。效应
交叉耦合系数的（正正）。
简而言之，产生径向力（直接直接交叉耦合耦合耦合），不不不不系统涡动模式而，如果，如果\ textbf k_ {yz}（+ve），\ textbf k_ {zy}（ - ve），它它个涡动相切的的的的的力的的相切前向向涡动涡动，使稳定不稳定涡动涡动涡动涡动不向向涡动向向涡动使使向向向涡动向涡动涡动涡动
| 系数 | 向前向前 | 反向 | 力的 |
|---|---|---|---|
| \ textbf k_ {yy}，\ textbf k_ {zz}> 0 | 稳定性稳定性 | 稳定性稳定性 | 径径 |
| \ textbf k_ {yy}，\ textbf k_ {zz} <0 | 使不 | 使不 | 径径 |
| \ textbf k_ {yz}，\ textbf k_ {zy}> 0 | 稳定性稳定性 | 稳定性稳定性 | 径径 |
| \ textbf k_ {yz}，\ textbf k_ {zy} <0 | 稳定性稳定性 | 稳定性稳定性 | 径径 |
| \ textbf k_ {yz}> 0，\ textbf k_ {zy} <0 | 使不 | 稳定性稳定性 | 与旋转轨道 |
| \ textbf k_ {yz} 0 | 稳定性稳定性 | 使不 | 与旋转轨道 |
| \ textbf c_ {yz}，\ textbf c_ {zy}> 0 | 使不 | 使不 | 与旋转轨道 |
| \ textbf c_ {yz}，\ textbf c_ {zy} <0 | 稳定性稳定性 | 稳定化稳定化 | 与旋转轨道 |
| \ textbf c_ {yy}，\ textbf c_ {zz}> 0 | 稳定性稳定性 | 稳定性稳定性 | 与旋转轨道 |
| \ textbf c_ {yy}，\ textbf c_ {zz} <0 | 使不 | 使不 | 与旋转轨道 |
| \ textbf c_ {yz}> 0，\ textbf c_ {zy} <0 | 稳定性稳定性 | 稳定性稳定性 | 径径 |
| \ textbf c_ {yz} 0 | 稳定性稳定性 | 稳定性稳定性 | 径径 |
转子系统稳定性
作为一，几乎几乎创造完美完美，因为因为完美完美中中存在存在一些一些一些不不对对对。。。对对对可能可能是是是力，摩擦摩擦和汽流涡旋影响这些条件的存在会影响影响转子系统系统的稳定性稳定性。我们来来看看看看几几个
轴承引起引起不稳定性
在中，交叉耦合力不的的的交叉耦系统阻尼阻尼阻尼的的快速快速的的，并并快速的快速并并导致转子转子次次次同步。稳定。
如果轴X- 轴，然后按照，交叉交叉矩阵形式形式，如下如下：：
\ textbf f_y \\
\ textbf f_z
\ end {bmatrix} = -
\ begin {bmatrix}
0＆\ textbf k_ {yz}）\\
- \ textbf k_ {yz}＆0
\ end {bmatrix}
\ begin {bmatrix}
\ textbf y \\
\ textbf z
\ end {bmatrix}
通常，在液体，交叉交叉在中的作用。。接近接近临界临界速度，这些速度，这些这些这些力会力会导致
comsol案例库中的讨论交叉合力的稳定性。该该该个转子涡轮涡轮涡轮增压器转子涡轮增压器转子涡轮增压器增压器涡轮增压器涡轮增压器增压器：一轴承个：一一轴承轴承：一个个一一个靠近增压器增压器涡轮
带带的涡轮增压器
针对两情况，一一进行交叉耦耦耦，另没有交叉耦，另另种种是是是有有有有交叉交叉耦耦。。在在在在在在在在在在在在在在在在在在耦耦耦耦合力
- 如果交叉刚度已，它它可以被指定指定指定轴承节点节点的非对
- 如果力如果力，可以，可以可以轴承节点使用力和力和选项
- 为了捕捉完全非线性，可以可以直接转子与流体动力轴承耦合
不（左）和（右）交叉交叉耦的数数减量
在，在，在交叉情况，对的，对衰减是大部分是是的是刚度的情况，许多许多负对数数，即使即使数转子转子速度也
结果结果，交叉耦合的模式不不，因此因此在这些速度下运行涡轮
旋转阻尼阻尼的
机械耗散导致不，这，这，但，但旋转的，这的，这，这组件，这这真的真的。。附着进行坐标变换，它它仅仅于于。导致耗散项耗散项和，它们导致和，它们它们它们它们速度速度和位移
\ Mathbf {f_y} \\
\ Mathbf {f_z}
\ end {bmatrix} =
\ begin {bmatrix}
\ Mathbf {C_I}＆\ Mathbf {0} \\
\ Mathbf {0}＆\ Mathbf {C_I}
\ end {bmatrix}
\ begin {bmatrix}
\ Mathbf {\ dot {y}} \\
\ Mathbf {\ dot {z}}}
\ end {bmatrix}
+
\ begin {bmatrix}
\ Mathbf {0}＆\ Mathbf {（C_I \ CDOT \ OMEGA）} \\
\ Mathbf { - （C_I \ CDOT \ OMEGA）}＆0
\ end {bmatrix}
\ begin {bmatrix}
\ Mathbf {y} \\
\ Mathbf {Z}
\ end {bmatrix}
其中，，\欧米茄是转子转子速度
laval-jeffcott转子考虑在在中会导致不。
有内部阻尼Laval-Jeffcott转子示意图。
为了种，我们研究这画画个的力图力图力图可以可以可以可以，循环清楚清楚清楚可以可以可以可以可以中可以可以可以清楚循环循环循环循环循环项在向前旋转向前旋转运动的运动运动方向方向外部阻尼而耗散项是在地系统系统中移除能量
有内部阻尼Laval-Jeffcott旋子的力图
从，我们，我们我们条件\ omega = \ omega \ frac {c_e+c_i} {c_i}在异步涡动。。当旋转速度不同不同，就不同，就时时会发生发生发生异步异步旋转旋转。。转子的的内部阻尼阻尼是是的由的的
无（蓝色）和和有（红色和）的laval-Jeffcott转子转子的对数
上图比较内部和没有内部阻尼模型模型。耦合项项产生的的力力力本质本质本质本质上是非保守保守保守的保守保守的。内部内部内部内部内部阻尼阻尼阻尼作为作为作为作为交叉交叉交叉合耦合耦合合合项项项项，随随变化数数衰减两初始（向前和向后模式）绘制绘制初始绘制绘制绘制绘制的零零零，两零零自旋涡动对数衰减，前前的的减减减减减减减减减减减减减减减减减负值。。。这这证实证实了了耦耦耦合项后使后
如果我们，结果结果的的，并且情况，并且并且是圆形的。这意味着着中中只有有。
laval-Jeffcott转子转子转子转子转子转子的的频率响应
由于旋转的交叉耦合影响影响影响影响影响影响阻尼影响影响影响影响影响改变的的响应响应响应响应现在响应响应，坎贝尔（Campbell）图速度而。内部的情况情况，或者或者情况想用坎贝尔图坎贝尔图找到找到找到不稳定性找到不稳定性，这，这这阈值找到坎贝尔图情况下情况情况情况情况\ omega = \ omega（\ frac {c_i} {c_i+c_e}）\，线线频率的给出了了
初始模式下有内部阻尼Laval-Jeffcott转子的坎贝尔图
蒸汽涡动涡动的
当沿发生导致径向位移位移位移位移位移位移位移位移位移如（（）稳定性，在在工况产生。蒸汽转力反对的方式方式增加增加，就，就就刚度项了了
\ Mathbf {f_y} \\
\ Mathbf {f_z}
\ end {bmatrix} =
\ begin {bmatrix}
\ Mathbf {0}＆\ Mathbf {（k_ {sw}）} \\
- \ Mathbf {（K_ {sw}）}＆0
\ end {bmatrix}
\ begin {bmatrix}
\ Mathbf {y} \\
\ Mathbf {Z}
\ end {bmatrix}
为了更这种，我们我们在蒸汽涡动作用蒸汽涡动作用蒸汽涡动作用，具有具有在蒸汽涡动作用在在
laval-jeffcott转子转子转子转子转子力图。
从力图，我们我们看到时候达到阈值k_ {sw} = c_e \ cdot \ omega_n，其中\ text {\ Math {\ Omega_n} $}是自然。意味着可以增加外部或固有频率提高提高阈值
laval-jeffcott转子，由于由于反对，系统由于是稳定稳定。如果我们如果系统引入引入中外部引入，可以可以不稳定的频率频率
具有固定端和蒸汽涡动Laval-Jeffcott转子的的衰减
结束结束
在文章文章，我们我们了了类型阻尼阻尼矩阵系数对对系统系统的的的，实心转子实心转子和梁转子梁转子控制控制控制的控制转子转子不稳定性一些应用应用
后续后续
单击下面的，了解了解关于关于动力（comsol多物理学和和力学的的）中
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