您曾经使用一些试验数据数据载荷或边界条件的情况如果如果如果这些这些数据数据数据数据数据随随随空间或或变化变化变化变化变化变化变化变化变化变化变化变化变化变化变化变化变化变化变化变化变化非常短。实际上，我们我们不或不这样。。。一种解决是对数据过滤以使更加平滑。，让接下来接下来接下来接下来
用基于的建模方法数据数据
首先，我们样本数据，如数据。。。。在使用数据之前之前，我们想减少。。。
具有明显的数据样本。
在这里，我们可以一亥姆霍兹滤波器（Helmholtz滤波器）。。种的滤波器最近最近提出并并在在拓扑优化领域非常有用其实这个功能是是优化模块的功能，但也手动实现，以下以下是我们演示。。。
亥姆霍兹滤波器可以地求微分：：
式，，d是输入，，你是过滤后数据。
方程中有个参数r，我们我们其过滤器。。
除了方程外，我们还边界条件。。因为将将齐次齐次诺依曼诺依曼诺依曼诺依曼诺依曼（（（（（（（（（（条件诺依曼诺依曼诺依曼诺依曼诺依曼诺依曼诺依曼诺依曼诺依曼诺依曼诺依曼诺依曼诺依曼诺依曼诺依曼诺依曼诺依曼诺依曼诺依曼诺依曼诺依曼诺依曼诺依曼诺依曼诺依曼诺依曼诺依曼诺依曼诺依曼诺依曼诺依曼诺依曼诺依曼诺依曼诺依曼诺依曼诺依曼诺依曼诺依曼诺依曼入手入手维组件中的系数形式偏微方程接口中基于方程的。。
首先，我们我们试验读入读入插值表格特征，如下面屏幕所。注意的，外推被设置为常数。我们会看到，由于由于条件条件条件
读入试验数据设置外推方法。
接下来，我们我们一维组件引入我们的并将单位制设置为无。
然后，在几何中创建一个线段间隔特征，如下面截图示的的是是，在我们是关注的数据
定义应用过滤器域。
现在，针对针对未知数未知数你，我们将系数形式偏微方程接口引入到组件中，如如屏幕所。。将将保持离散化为默认的二次拉格朗日。然后，保持保持无量。。
在系数形式偏微方程特征的，定义定义所示的。。扩散系数被设置为全局参数过滤的，，吸收系数为1。。的试验，而数据数据其他项均为。。。
默认的边界条件零通量是所需的齐次诺依曼，我们我们计算域端将过滤数据导数固定为。。这为为为过滤器过滤器引入末端末端效应效应效应效应效应效应效应这这
我们也可以使用狄利克雷边界，将，将边界处固定你的值还手动将网格大小小于试验数据的。。
使用基于的建模定义亥姆霍兹滤波器方程。
对模型数据亥姆霍兹滤波器方程
，我们我们过滤的过滤器结果。如在下面下面看到看到的的大，过滤过滤数据原始数据。。。
认识亥姆霍兹滤这个关键：只要：只要诺伊曼边界条件，它条件，它能实现能量守恒。这原始和过滤的数据在计算域的积分将是相同。。
请注意，在没有的上，这子域上上完全。。狄利克雷边界条件实现能量，因此因此应。。。。
使用不同半径的过滤。。
我们数据，接下来数据数据数据看看如何模型它们假设假设一个二二维轴维轴称材料的的瞬态加热瞬态加热瞬态加热瞬态加热瞬态加热瞬态加热过滤过滤位于模型组件，因此因此引入引入方法我们的数据从一一维组件移动移动移动到维度维度广义拉伸算子来实现在，我们，我们将t的表达式定义一个目标。这项功能会组件的数据映射时间轴轴上，并上上上上上
屏幕截图了广义拉伸算子的。。
在二维轴热模型，我们，我们个热源，如，如的的屏幕comp1.genext1（u）[w/m^2]。注意，我们为添加单位，因为，因为，因为你是无量纲的。
将组件1中定义的过滤调用到组件2的热模型。
我们可以研究两步骤。第一步骤是一个稳态步骤，求解求解方程第二步个个个瞬态步骤，求解热求解热我们求解更严格容差容差1E-4，并以采用的时间输出，如，如comsol知识库的中述述。
顺便一句，还需要的是用事件接口告知求解器。
并半径值，并绘制域内的的的变化图变化图。
热模型，使用了不同过滤来瞬态。。
这里大差异求解时间。求解没有的模型模型模型模型模型模型模型模型需要需要需要需要需要需要需要需要需要需要大约需要需要需要需要需要需要需要需要需要个个个自自自适应适应适应适应适应适应时间时间时间时间时间时间时间时间步进步进步进步进
结论性思考
在中，我们的了如何使用附加和方程对方程模型模型的数据数据使用使用使用使用使用亥姆霍兹亥姆霍兹过滤器过滤器过滤器过滤器进行进行进行过滤过滤过滤。。。我们我们我们我们我们我们不仅不仅不仅不仅不仅对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对，并且并且几何形状和密度的输入数据进行进行处理在在在在在在在在在在在在在在特别是特别是特别是特别是特别是特别是特别是特别是允许非网格。这就得到高效求解的稀疏线性。。
通过亥姆霍兹任意上进行空间。后的数据较较粗的网格就就可以可以描述描述描述
2d平滑了了很好地了，即即平滑平滑一任意任意表面上上未未过滤过滤和和过滤后后的场场注意注意注意注意注意，这，这带来额外证明证明证明，我们事实，我们甚至使用使用这个个亥姆霍兹过滤器来来一一个个可以很很好地满足满足不同不同网格网格，欢迎欢迎我们博客！！
自己尝试
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