为什么高尔夫球有？

知道都物体更空气动力学。在今天中，我们我们深入探讨看起来有明显悖论的问题问题；学习学习如何如何在在在在^®软件中知识高尔夫球的，最终轨迹轨迹轨迹的最佳角度。阅读阅读本

从观察到模型

，，，我在和一起在球场散步散步，那散步，那唯一唯一没没有有高尔夫球手敢打球的时候时候。。我们我们经常玩玩的游戏是是是之前不幸不幸球手球手球手球手球手球手获胜阴雨天天空中飞得更。

有没想过高尔夫球有凹痕？

很多年，现在，现在我（（（（（）comsol多物理学模拟高尔夫球？可以击球减少减少丢球，并丢球丢球丢球丢球可能打出标准杆？之前改进了我高尔夫挥杆，但但多帮助的的信息，所以信息了我我的……

对阻力危机观察

纵观历史，科学家们研究许多形状流动例如，涡街是由绕流的。虽然不产生这种大交替交替，但结构结构结构结构雷诺数联系起来。密度为\ rho，动力黏性为\亩，速度为你的流体中直径为d的，雷诺数

（1）

低雷诺数流动是层流，黏性力占。之之之，如果，如果大，则，则则，惯性力湍流，惯性力湍流，惯性力湍流，惯性力惯性力惯性力惯性力惯性力惯性力占d，即物体对阻力，较为较为的定义无量阻力系数系数光盘：

（2）

其中，，a = \ dfrac {1} {4} \ pi d^2是球的面积。

古斯塔夫·埃菲尔（Gustave Eiffel）ludwig prandtl几乎到，根据，根据不同，球体不同系数不是恒定的阻力，，在其他的球（如足球和橄榄球）中也到唯一的阻力发生的，如位置位置位置位置

的球的系数分布比较。凹痕已阻力危机较较低的的雷诺雷诺雷诺雷诺数，但值值值的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的雷诺值内较小。

已知球手击出高尔夫球的典型速度约260公里/小时（小时160英/小时），考虑高尔夫球官方的设计（d =42.67毫米），可以可以个雷诺数雷诺数2 \ cdot10^5看出看出看出球将雷诺数范围范围，阻力较。因此，球因此因此因此走走

你可能答案满意我们我们，有到到到到高尔夫球高尔夫球具有较低低低低为什么阻力危机较的。要种种，我们现象现象，我们必须仔细仔细观察

产生阻力危机原因

首先，我们，一下，，物体的阻力是由个来源：：

1. 压差阻力，也称为型阻，由由周围压力产生产生
2. 沿边界剪切应力产生的黏性阻力

对于钝体，例如的，压差压差阻力的范围显着显着显着。

在不涉及湍流理论的下下，首先球体前部形成层（流动流动不不交换交换质量或或动量的的不同层不同层中中中中中）

1. （（），边界层的（低雷诺数（（（（（（（（边界层边界层边界层边界层边界层边界层，就就湍流边界层湍流湍流湍流湍流湍流湍流湍流湍流会由于由于由于由于由于不利不利不利不利的压力压力梯度在在大约大约大约大约大约大约大约大约大约大约大约大约角度
2. 82°之前的的的的的的的的有有时间时间到到到到湍流湍流边界层边界层。。当当当当这这情况发生发生发生发生时时会使获得，增加能量能量能量速度速度速度梯度梯度，并梯度梯度梯度梯度，120°的的大约到到的的的的的的角度。流动流动流动黏黏黏黏黏

高尔夫球和球体的湍流尾流的比较。雷诺数约为为1e⁵。

（（（（（））和高尔夫球（（（（（（流边界层分离的的的光滑光滑光滑球（（（（）的下游，尾流尾流更。

大量损失损失，使压力因此因此，作为，作为主要阻力阻力高尔夫球：：

• 由于凹痕的，雷诺数雷诺数低时从层流到到湍流边界层边界层的的过渡过渡。这这会会产生产生较较较小小小
• 与光滑相比，凹痕球凹痕球危机并对于的尾流大小，粗糙尾流，粗糙粗糙尾流尾流表面表面

高尔夫球的空气建模

现在现在：阻力会：阻力低，因此，因此较可以走更更远。知道远远远远远如下图示，忽略浮力影响影响

初始条件作用于上的力。

初始条件可以从之前的性能分析的最终中，其中其中球被被被被号号号号铁杆铁杆以以以以/小时90英/小时）

• 初始：187公里/小时小时116英/小时）
• 初始：6113转/分
• 初始：17.4°

使用牛顿定律对质量为m的球分析，，\ oftrightarrow {a}是它的和\ oftrightarrow {f_g}是它：：

（3）

阻力的是通过重新排列方程2来计算：

（4）

同样，由马格努斯效应产生的升力l由升力系数C_L定义，这这球旋转速度\欧米茄：

（5）

Bearman和Harvey在1976年年年升力与球旋转速率的相关性了广泛研究研究参考文献1）。。观察系数也应该应该（（第一图图曲线适用于一一个个特定特定旋转速率旋转速率旋转速率旋转速率旋转速率旋转速率旋转速率）比s：

（6）

虽然结果针对高尔夫球高尔夫球获得的，而且而且的的的不同不同不同不同不同不同不同不同不同不同不同不同不同不同不同不同不同不同不同的的的的的的的的的的的的的的文章中结果现代高尔夫球的真实值的曲线是通过结合结合使用comsol模型模型曲线拟合拟合对来自参考文献1中图9的数据使用曲线数字化仪应用程序拟合三多项式而：：

以自旋计算阻力和升力系数。。

光滑球阻力系数取自标准阻力相关性（（），升力升力系数等于高尔夫球的系数（实际上实际上。。。。。。。）

最后，由于摩擦会速度，因此因此使用指数对速率建模建模参考2）。

（7）

式，，C = 10^{ - 4}是一个常数。

考虑到的运动方向，升力相反相反相反方向方向方向，我们垂直，我们X轴和y轴上投影得到方：：

（8）

和u = \ sqrt {\ dot {x}^2+\ dot {y}^2}。
该方程组组常方程（ode）组成，由于，由于所有的依赖关系关系关系，它之间关系，它它的的的的的的的的，它它可能依赖的的的的的的的的的的的的的的的的的方程方程方程方程

在comsol多物理学^®中建立高尔夫球模型

实现这个的简单的是是在个个个个个维组件维组件维组件维组件使用事件接口，它它使用使用全局方程节点求解方程8，并并时（y = 0）停止计算。

设置研究使用变量。

第一步研究的不同软件中中中，它们它们中通过通过不同不同的函数函数和和全局全局参数参数参数来来来计算计算光滑的参数决定被发射球：：

• 带凹痕高尔夫球（平滑= 0）
• 光滑球（平滑= 1）

数量XT和是是位置时间，由，由事件接口计算。

求解球位置的全局。。

第二步使用相应的建立建立方程8的系统已经了所有参数和，因此变量变量变量步步。。

离散状态接口用定义球是否。。

与之前的博文一样，添加一/关/关的的离散状态变量。了的整体：它已经着陆着陆着陆，要么，要么，球，所以着陆= 0。

指示器状态接口仅仅当前高度。球落地，离散状态就会打开。

离散状态只有当球时会被更新。不知道事件时候时候发生发生发生发生，但但会发生会会但但我们我们可以用数学方法方法来来来翻译翻译它（（隐式事件节点：当：当指示器状态（此为高度高度高度高度满足特定条件条件

求解器序列修改以添加。。

最后一步创建研究节点。参数研究可以被此高尔夫球光光滑球，和和滑球变化的研究可以用于用于用于求解球的的的的轨迹轨迹。为了事件事件被激活激活时时停止计算计算

仿真结果

现在一切好了，让让开始吧！！

7号和号击中的滑球滑球的的光滑球相比相比相比相比相比相比相比相比相比相比相比相比相比相比相比相比凹痕凹痕凹痕的的球受到的阻力要要要小小得得（颜色颜色颜色颜色了阻力阻力阻力阻力阻力阻力阻力阻力阻力阻力阻力阻力阻力阻力阻力阻力阻力阻力阻力阻力阻力阻力轨迹的了危机危机危机，其速度雷诺数雷诺数雷诺数）

请注意，轨迹是抛物线，如果，如果或升力25％33码米了了进进进进进了米米米。。换句句句话话说

这个个事实事实，即即中中中中中中中中中中的的阻力阻力对于高尔夫球来来要小得得在在在在在在提到提到提到提到提到提到提到提到提到。。势能也值。这种能量转移是在动能动能的下下下进行的的的；；；；；；所以所以所以球球球球走得得慢。。。

150m（165码）典型高尔夫击球128 m或140码），pga球员典型的下限。到阻力和升力数据数据并非非源自源自源自

寻找最佳角度

凹痕对现在应该：它们：它们球更远远。然而，实际上如何击球攻角，我恒定，我给什么发射发射角度角度，显示了攻角速率下，根据下下下。距离距离。

参数研究，使用 -4.3°的和和攻角攻角攻角攻角的的旋转旋转旋转旋转旋转旋转

从数字看，最最攻角攻角似乎似乎在在在在在然而然而然而然而然而，Pga高尔夫球手理论理论理论理论理论理论，（pga高尔夫球手理论理论理论理论理论上理论理论上理论理论理论角度角度角度角度的角度角度角度角度角度角度角度角度角度角度角度：以假设：以以以大发射角度角度击球意味意味击球时时需要需要需要需要需要需要需要需要更加更加更加更加更加水平水平水平。。。。就就像像像网球网球网球被被被被被切片切片切片切片切片切片切片切片得快，但但更。。

恒定的个杆面倾角的比较比较该角度的是是与水平线相比相比相比。。。当当当当动态动态动态动态倾角倾角倾角增加时时时时时时时时时时时时时时时时时时时”）之间角度大，球球旋转更。。

找到发射旋转和球速之间直接直接的的的的高尔夫球模型，就就参数化使用！！

模型结果使用次次样条对这些进行插值以获得平滑的的曲线曲线。。。。正正如如预期预期预期的那样那样那样那样那样，较的那样那样那样那样那样

我们必须结果，并应该更的研究，包括，包括收敛，与研究研究

7号铁杆距离，取决于 -4.3°攻角攻角攻角的角度。。曲线已转移转移到较发射发射角度值角度值角度值，以角度值角度值角度值

我们可以的自旋和速度值再次再次请请请注意注意注意注意请请注意请请请请请请请向左左左左左移动移动。换话话说说说为提供的平移动能。如人们所期望的那样那样那样那样那样那样那样那样那样那样那样的的期望曲线曲线曲线曲线并并并并并并并并并未未未未未未未未未未未未以未未以以以以以以以以以以以以以以以以以16°为为中心中心中心中心中心。。。。（的），这些假设最终有。关于现代高尔夫球和球撞击分析的数据数据越多，越多多多

结论

在中，我们文章中了一关于的问题问题问题对普通观察我们对复杂的的现象有了了解了解了解了解了解了解了解了解了解了解了解了解了解了解了解了解了解的的的的的深入进而进而进而进而进而进而进而进而进而进而进而进而使使使在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在在，并并对击球的的。。

高尔夫球观众过与我类似类似问题。要教训是是是是是是是是是是是是是是是是是是是是是教训教训是的的的的的的的的的的的如何在做到一。。，如果所以所以高尔夫球需要请教专业的的

自己尝试

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参考文献

1. P. Bearman和J.K.哈维，“高尔夫球空气动力学”，航空季刊，卷。27，第112-122页，1976年。
2. A.J.Smits和D.R.史密斯，“飞行中高尔夫球的新空气动力学模型”，科学和高尔夫II，泰勒和弗朗西斯，第433–442页，2002年。