实现不等式不等式的GydF4y2Ba

2018年9月17日GydF4y2Ba

你知道怎样找到湖上两点之间最短的陆路距离吗?这种障碍物和解的边界通常被称为不等式约束。在接触力学中对物体间隙非负性的要求，在化学中对物种浓度的要求，以及在生态学中对种群的要求都是不平等约束的一些例子。GydF4y2Ba在之前博客，我们我们了了变分中约束约束。。。，我们我们约束约束，我们我们我们约束等式等式博客博客博客系列系列系列博客博客博客博客博客博客博客系列GydF4y2Ba

用于路径规划的罚函数GydF4y2Ba

假设你（0,0.2）点点（1,1）点，但是，但是但是（0.5,0.5），半径0.2半径的的的的的GydF4y2Ba（a，u（a））GydF4y2Ba和GydF4y2Ba（b，u（b））GydF4y2Ba之间的距离最小的GydF4y2Ba（x，u）GydF4y2Ba应该使使最GydF4y2Ba

e [x，u，u’] = \ int_a^b \ sqrt {1+u^{\ prime}^2} dx。GydF4y2Ba

在里空间，两两点最的距离直线直线因此。。直线。，用用直线，用用用已经讨论讨论讨论讨论的的的方法方法来方法来解解解解这个个个方程方程方程方程方程应该应该应该应该得到一了障碍这不可行的。。我们我们的路径进入障碍障碍物；GydF4y2Ba

r- \ sqrt {（x-x_o）^2+（u（x）-y_o）^2} \ le 0。GydF4y2Ba

不等式约束问题的简单说明GydF4y2Ba
不等式不等式的一个基本。GydF4y2Ba

我们要函数添加一个来惩罚违背。对于等式GydF4y2Bag = 0GydF4y2Ba，我们我们GydF4y2BaGGydF4y2Ba的正负值。对于不等式GydF4y2Bag \ leq 0GydF4y2Ba，我们我们GydF4y2BaGGydF4y2Ba的，而，而接受。GydF4y2Ba

在问题，这意味只只当穿过时障碍，我们穿过，我们我们才能能能能进行进行惩罚惩罚。远离环形湖的海岸是的的GydF4y2Ba

e _ {\ mu} [x，u，u’] = \ int_a^b \ sqrt {1+u^{\ prime}GydF4y2Ba
^2} dx + \ \ frac {\ mu} {2} \ int_a^b \ bigg \ langle r- \ sqrt {（x-x_o）^2 +（x）^2 +（x）-y_o）^2dx，GydF4y2Ba

其中，，GydF4y2Ba\亩GydF4y2Ba是，我们，我们我们GydF4y2Ba斜坡函数GydF4y2Ba

\ bigg \ langle x \ bigg \ rangle：= \ begin {cases}GydF4y2Ba
x＆x \ ge 00＆x \ le 0. \ end {case}GydF4y2Ba

对于一般GydF4y2Ba

e [x，u，u’] = \ int_a^b f（x，u，u^{\ prime}）dxGydF4y2Ba

在不等式约束下被最GydF4y2Ba

g（x，u，u^{\ prime}）\ leq 0，\ qquad \ forall x，GydF4y2Ba

惩罚函数GydF4y2Ba

E_{mu}[x,u,u’] = \int_a^b F(x,u,u^{\prime}) dx + \frac{\mu}{2}\int_a^b\bigg\langle g(x,u,u^{\prime})\bigg\rangle^2 dx.

最后一对上述求一阶分分分，并并设为，我们零。，我们这里，我们GydF4y2BaHeaviside阶跃函数GydF4y2BaHGydF4y2Ba。GydF4y2Ba

\int_a^b \left[\frac{\partial F}{\partial u}\hat{u} + \frac{\partial F} {\partial u’}\hat{u’}\right] dx + \mu\int_a^b gH(g)\left[\frac{\partial g}{\partial u}\hat{u} + \frac{\partial g}{\partial u’}\hat{u’}\right] dx = 0, \qquad \forall \hat{u}.

在上面的，我们我们使用了GydF4y2Ba\ big \ langle x \ big \ rangle h _x = xh_x。GydF4y2Ba这一。，我们我们讨论讨论正性约束约束约束可以通过约束取约束方程方程的，求解方程，求解求解求解GydF4y2Ba

上面变方程第一项是来自问题问题似似相识的的贡献贡献。。我们我们我们看看使用使用使用使用GydF4y2Ba弱弱GydF4y2Ba节点节点项我们将使用使用更GydF4y2Ba狄利克雷边界GydF4y2Ba节点来来端点GydF4y2Ba

用罚函数法实现不等式约束GydF4y2Ba

注意，在在弱，我们，我们我们包含没有GydF4y2Ba\ frac {\ partial g}GydF4y2Ba
{\ partial u^{\ prime}}GydF4y2Ba，因为因为约束只，而只依赖于的空间空间导数GydF4y2Ba

对一递增罚参数求解这个，同时求解这个这个的的解作为，我们解作为GydF4y2Ba

约束路径规划GydF4y2Ba
使用罚函数法绕障碍物最短。零返回返回约束解约束解GydF4y2Ba

在在GydF4y2Ba等式约束罚函数GydF4y2Ba的物理解释时，我们已经说过罚项引入了一个与违反约束成比例的反应。这种解释适用，但对于不平等约束，反应是片面的。GydF4y2Ba

想象，使用压缩迫使颗珠子留在上上上上上上上上上上接触接触在在在在x = 0，x = 0，我们在在左边是接受，那我们约束，我们的是是有有右侧把压缩GydF4y2Ba\ big \ langle g \ big \ rangleGydF4y2Ba而不GydF4y2Ba| G |GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

一个弹簧的罚函数执行平等(多边)和不平等(单边)约束。GydF4y2Ba

拉格朗日拉格朗日GydF4y2Ba

在讨论不同约束执行策略的数值性质时，我们讨论过虽然拉格朗日乘子法严格执行约束，但它在数值解中有一些不受欢迎的性质。也就是说，它对解的初始估计很敏感，可能需要直接线性求解器。这些不利因素仍然存在，但在不平等限制下，还有一个额外的挑战。具体来说，就是约束可能并不总是活跃的。GydF4y2Ba

考虑我们规划。在不接触的路径，约束路径路径部分路径路径路径路径是未未激活激活的的的然而的，我们的的，我们我们，我们我们我们我们我们，我们我们事先事先我们事先我们我们我们事先事先事先不我们我们事先事先我们事先事先事先事先路径我们我们两种常用的。GydF4y2Ba

有效集GydF4y2Ba

假设有是有效，有些有些不。一分布式约束约束GydF4y2Bag = 0GydF4y2Ba的，并，并假设在在GydF4y2Bag <0。GydF4y2Ba的可行在不不，拉格朗日拉格朗日为。在集上有效有效有效，拉格朗日拉格朗日在有效GydF4y2BaKarush-Kuhn-Tucker（KKT）条件GydF4y2Ba。如果在，有效集发生了变化了了了了条件，我们条件，我们我们必须适当地更新更新集并并重新计算计算。。下面的流程图流程图了：GydF4y2Ba

采取采取集来处理约束的流程GydF4y2Ba
不等式不等式拉格朗日执行的有效有效集GydF4y2Ba

通过这个，每每迭代一等式约束。等式约束的拉格朗日实施乘子在已经系列系列本GydF4y2Ba前一篇GydF4y2Ba中讨论讨论了GydF4y2Ba

松弛松弛GydF4y2Ba

约束GydF4y2Bag \ leq 0GydF4y2Ba相当于GydF4y2BaG + S^2 = 0GydF4y2Ba。现在有个引入新松弛变量的如果如果是分布式分布式分布式分布式分布式分布式分布式（约束约束是GydF4y2Ba

一一，松弛引入一个个，但一一个一一举解决解决了了问题。。另方面另一一方面另，有效有效，有效有效有效这个集这个需要需要需要GydF4y2Ba

增广拉格朗日GydF4y2Ba

就等式约束，我们我们我们可以一微积分问题来这个方法方法的基本基本基本思想。用用用项项项项，，，乘数乘数乘数项项和和GydF4y2Ba

e _ {\ mu，\ lambda} = f + \ lambda^* g + \ fracGydF4y2Ba
{\ mu} {2} \ big \ langle g \ big \ rangle^2。GydF4y2Ba

这个这个的一阶最优为GydF4y2Ba

\ frac {df} {dx} + \ lambda^* \ frac {dg} {dx} {dx} + \ mu \ big \ big \ langle g \ big \ big \ rangle \ frac {dg}+（\ lambda^* + \ mu \ big \ langle g \ big \ rangle）\ frac {dg} {dx}GydF4y2Ba
= 0。GydF4y2Ba

这意味意味乘数GydF4y2Ba

\ lambda^* = \ lambda^* +\ mu \ big \ langle g \ big \ rangle。GydF4y2Ba

如果我们对乘数初始初始零为为，那么那么上述等式等式仅在在以下以下情况情况情况更新更新更新拉格朗日拉格朗日是是是是的有效的的的的的的的因此的的的因此的的并且并且倾向于违反的点上为正正GydF4y2Ba

增广拉格朗日一种约束约束约束策略，将将策略约束轻微轻微违反违反违反违反。。违反。违反。，如果，如果没有违反违反违反违反策略策略强制强制强制强制强制强制强制强制强制策略强制强制强制强制策略的策略的双双可行性（GydF4y2Ba\ lambda \ ge 0GydF4y2Ba），但但近似互补松弛（GydF4y2Ba\ lambda g = 0GydF4y2Ba）。拉格朗日法完全这两个个GydF4y2Ba

不不形状的障碍GydF4y2Ba

在的，我们的了的的的学中的就是这的。例子，其他其他例子约束没有这样简单的。形式GydF4y2Ba

，在，在力学，我们我们保持物体非非负值非非非，但但为非为为为边界很少简单简单少如此，因此因此因此因此因此因此因此我们用平滑平滑的的的解析函数函数定义定义定义定义定义，我们，我们变形域强制，，但但约束肯定变形域解析解析描述描述描述描述描述，约束约束描述。必须从必须从满足离散的版本版本的的对象的的网格网格下。。操作来找出与其他点接触或接触。comsolMultiphysics®软件软件中这个这个和其他接触仿真仿真仿真程序程序程序GydF4y2Ba

对于一些的形状，我们和和和来使用广义拉伸算子GydF4y2Ba计算计算对象之间的GydF4y2Ba，而而接触功能。复杂几何图形需要需要。GydF4y2Ba

下一GydF4y2Ba

到目前，在本博客博客，我们我们我们如何使用使用使用使用如何如何使用如何使用了如何了了如何了如何了解决解决解决解决约束和变分变分约束变分，并并变分并并并讨论讨论单物理场和变分，最多最多有泛函的一阶导数导数GydF4y2Ba

有的基础，希望主题的我们我们准备处理高维数，高阶导数和多和多多种领域的的应用。。这将将将在在在的的的的下下下下下也最后是最后最后最后最后最后最后最后GydF4y2Ba

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评论（2）GydF4y2Ba

yi陈GydF4y2Ba

2021-11-08GydF4y2Ba

请问，这这的案例提供一下？GydF4y2Ba

hao huangGydF4y2Ba

2021-11-08GydF4y2Ba comsol员工GydF4y2Ba

您您，抱歉抱歉博客没有相关相关GydF4y2Ba

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