使用任意Lagrangian-Eulerian方法的模型变形对象

作为有史以来最伟大的两位数学家，莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）和约瑟夫·路易斯·拉格朗（Joseph-Louis Lagrange）为连续机械做出了许多贡献。结合他们对主题的个人描述启发了任意的Lagrangian-Eulerian（ALE）方法，该方法可用于多种模拟应用程序。找出Euler和Lagrange的工作如何帮助创建ALE方法以及它如何帮助您在ComsolMultiphysics®软件中的模拟。

Leonhard Euler和Joseph-Louis Lagrange

莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）于1707年出生于瑞士巴塞尔（Basel）（发音为“油工”）是一位多产的数学家，他一生中出版了800多篇文章。他在著名的约翰·伯努利（Johann Bernoulli）的统治下学习，并获得了巴塞尔大学哲学硕士学位。在搬到俄罗斯圣彼得堡在大学工作之前，欧拉将他的第一篇论文提交给巴黎科学院，仅在19岁时排名第二。

莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）的肖像。在公共领域中的图像，通过Wikimedia Commons。

欧拉（Euler）迅速晋升为学术界，并在1733年接替伯努利（Bernoulli）担任圣彼得堡数学主席。欧拉（Euler）于1741年应国王弗雷德里克二世（Frederick II）的邀请移居柏林。在他的25年中，他写了大约380篇文章和开创性书的第一卷Analysin Infinitorum中的介绍，这是首次正式定义的函数；介绍了f \ left（x \ right）符号;普及e和\ pi符号;并建立关键公式e^{i \ theta} = \ cos \ left（\ theta \ right） + i \ sin \ left（\ theta \ right）。

约瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）（发音为“ luh-gronj”）出生于都灵的朱塞佩·洛多维科·拉格兰吉亚（Giuseppe Lodovico Lagrangia）。如今，这座城市是意大利皮埃蒙特地区的首都，但是当拉格朗日出生于1736年时，它是由萨沃伊公爵统治的，是撒丁岛王国的一部分。拉格朗日对数学产生了兴趣，在独立研究新主题之后，开始与欧拉（Euler）交流，当欧拉（Euler）离开柏林时，他成功了。

约瑟夫·路易斯·拉格朗日的肖像。在公共领域中的图像，通过Wikimedia Commons。

在柏林，拉格朗日开发了他今天著名的大多数数学。他在变异微积分的发展中发挥了重要作用，并提出了拉格朗日的力学方法。尽管拉格朗日力学与牛顿的运动定律做出了相同的预测，但拉格朗日引入的拉格朗日功能使许多问题的经典力学在数学上比牛顿力学更为直接和有见地的方式描述。Lagrange还开发了Lagrange乘数的方法，该方法允许以各种方法轻松引入方程系统的约束。

比较Eulerian和Lagrangian方法

Euler和Lagrange的数学表述对有限元方法，用于求解comsol多物理学中的方程。

在Eulerian方法中，从观察者的角度考虑了系统的动力学，从而测量了系统相对于固定坐标系统的演变。该坐标系称为空间框架在comsol多物理学中。可以理解与实验室框架在物理分析中，由于坐标系统根据固定的轴定向，而无需提及物理系统本身组件的方向。

下图说明了一块薄板的材料，其结构力学是用2D平面建模的。将板固定在左侧的刚性壁上，并在重力向下作用时在其自身的重量下变形。结果绘制在空间框架，我们看到对象的变形，正如我们期望在实验室中观察到的那样。

如空间（实验室）框架中所见，固定在左侧的灰色块上的薄板。对于给定的机械性能，尖端的挠度约为5 mm。

在Eulerian方法中，配方物理方程似乎很自然。确实，这是电磁和流体物理等问题的共同公式，其中场变量表示为空间框架中固定坐标的功能。

但是，对于机械问题，Lagrangian方法提供了有用的选择。在Lagrangian方法中，机械方程是用材料的小卷来编写的，该材料的单个体积将在对象中移动或动态变形时移动。换句话说，对象本身总是从拉格朗日坐标系的角度出现并未呈现，因为后者保持在变形对象上并随之移动，但是周围环境中的外力似乎从其方向改变了方向。deforming object’s perspective. The corresponding coordinate system, which moves along with the deforming object, is called the材料框架在comsol多物理学中。

在空间框架中测量的物体内的一个点从与该点的机械位移相同的位置位于与材料框架中相同的点的位置。在下图中，我们将视图集中在上面示例中变形板的尖端上，并随着物体的密度增加而对其变形进行动画化，以便重量也会增加。如您所见，材料框架坐标系（红色网格和箭头）与对象一起变形，因为空间帧中对象的尺寸会更改。这意味着可以在材料框架中方便地表示各向异性材料的特性（例如复合材料的机械性能）。

随着其密度的增加，薄板在其自身重量下变形的尖端的缩放视图。红色网格表示材料框架坐标，如空间（实验室）框架所示。红色和绿色箭头显示X- 和y- 材料框架的坐标方向，如空间框架中所示。

在这种类型的机械问题的极小应变的极限下，空间和材料框架几乎是一致的，因为与物体的大小相比，机械位移很小。在这种情况下，通常使用“工程应变”来定义对象的弹性应力应变关系，并且所得的应力应变方程是线性的。但是，随着机械位移的增加，用于评估工程应变的线性近似越来越不准确 - 需要确切的绿色拉格朗日应变。在comsol多物理学中，“几何非线性”一词意味着使用绿色拉格朗日菌株。

有关数学的更多详细信息，请参阅我的同事HenrikSönnerlind's几何非线性的博客文章。

根据计算的机械位移引起的框架转换，通过允许将空间框架与材料框架分开，从而在COMSOL多物理学中处理几何非线性。访问材料框架以表达诸如各向异性机械材料属性之类的属性仍然方便，因为即使物体变形，这些属性通常仍与材料框架坐标保持一致。

相比之下，诸如重力之类的外部力在空间框架中具有固定的方向。从材料框架的角度来看，重力等外部力随着物体的变形而改变方向。下图显示了上面的薄板的尖端，但是在这里，位移幅度绘制了颜色。如在材料框架坐标中表达的那样，箭头用于说明由于重力引起的力。由于材料框架坐标仍然相对于对象固定，因此对象的尺寸似乎不变。然而，在更大变形的条件下，位移幅度随物体的重量和重力力量增加而增加。

随着其密度的增加，薄板在其自身重量下变形的尖端的缩放视图随着其密度的增加而变形。该图位于拉格朗日公式的材料框架中，因此，尽管位移增加，但变形并不明显。红色箭头指示重力的明显方向（在空间框架中是恒定的），如变形对象中的参考物质框架所感知。

Lagrangian和Eulerian的表述都不比其他配方更“物理”或“正确”。它们只是描述相同现象和方程式的不同数学方法。通过坐标转换，我们始终可以将任何现象的物理方程式从材料框架转换为空间框架，反之亦然。但是，从解释和实施的角度来看，每种方法都有某些优势和共同的应用。其中一些总结在下表中：

	优势	常见应用
欧拉方法	在背景空间中的固定点上轻松访问结果	电磁学 声学 流体流
拉格朗日方法	轻松在移动对象中的固定点上访问结果 应用各向异性材料特性，其中各向异性作用于变形固体的方向 定义依赖历史的构成关系	结构力学

什么是啤酒方法？

多物理问题，例如流体结构相互作用（FSI）或几何非线性机电呢？在这些情况下，使用Eulerian方法最自然地表达了一个物理方程，而另一个物理方程可能会更好地用Lagrangian方法表达。这是ALE方法的出现。此方法求解第三坐标系上的方程，这不需要匹配任何一个空间框架或者材料框架坐标系。

第三个坐标系称为网格框架在comsol多物理学中。空间框架和基础网格框架之间有一个数学映射，在材料框架和基础网格框架之间有一个数学映射，因此，在所有时间点，在空间和材料框架中配方的方程式可以转换为网格框架要解决。

在代表模型中固体的域中，使用拉格朗日公式中的结构力学方程预测了力学位移。在这里，如上所述，机械位移给出了空间和材料框架的关系。ALE方法添加了更多方程式，以允许相邻域中的网格元素的明显位置和形状在空间框架中取代。这就是为了说明机械变形如何改变欧拉公式中描述物理学的任何域的边界的形状。这些其他方程称为移动网格或者变形的几何形状在comsol多物理学中。

在拉格朗日和欧拉域之间的边界上，这些附加方程的边界条件要求欧拉域的空间框架的位移（通过移动网格定义）必须与空间框架的机械位移相匹配，从拉格朗日域。即使没有求解机械方程，也没有使用Lagrangian方法，但由于沉积或材料丢失，ALE方法仍然可以用于表达移动边界。

在多物理建模中应用啤酒法

如果您发现啤酒方法相当数学，那没关系！在抽象中遵循这是一个困难的概念。为了更好地理解ALE方法的工作方式，让我们看一下Comsol多物理学中的一个示例。

微泵机制中的流体结构相互作用

ALE方法在建模FSI中起重要作用。在comsol多物理学中，此方法可以实现流体流和结构变形的自动双向耦合，在我们的微型泵机构教程模型。

这种微泵机制的核心是两个悬臂，它们在常规泵设备中的阀门具有相同的功能。这些悬臂足够灵活，流体流使它们变形。由于流体交替泵入或从顶部的通道中泵入或从顶部泵出，因此流体流动的力会导致两个悬臂变形，因此流体向右或从左侧流出。

微型泵机制。将液体泵入或从顶管中泵送，在两个悬臂中产生相反的反应，将液体推入或从腔室中推出。即使没有时间平均的净流进入上管，但从左到右流动的净流动。

悬臂的变形足以使边界的位置发生明显变化，即流体和固体相遇：几何非线性情况。液体对固体的压力和固体在流体上的压力以及网格的变形自动处理的固定压力自动处理流体结构相互作用界面。该界面采用啤酒方法来说明固体和流体区域中形状的变化。

对于固体，具有几何非线性的机械方程定义了相对于材料框架的空间框架的位移。在流体方程式中，有必要变形求解方程的网格，以表达在配制流体方程的空间框架中固体边界的位移。边界处的变形受到从解决方案到结构问题的机械位移的控制。但是，在流体中，网格节点的确切位置或方向并不重要，因为方程是在固定的空间框架中配制的。取而代之的是，要平滑网格的变形，以确保数值问题在高质量的网格元素中保持稳定。

为了解释FSI问题的ALE方法，我们可以解释一般相对论的共同解释：由于流体流动（Eulerian）引起的力告诉结构如何在材料框架（Lagrangian）中变形（Lagrangian），而结构变形（Lagrangian）则告诉网格如何在空间框架（Eulerian）中移动。

顶部：在空间框架中绘制的微量的操作，包括压力，流量和悬臂变形。底部：通过ALE方法计算得出的网格变形。

与comsol Multiphysics版本5.3a一样移动网格在此类型的问题中定义网格变形的功能位于零件>定义。这允许在模型中包含的所有物理学之间的材料和空间框架的定义中保持一致，即使包括多个物理界面。下面的屏幕捕获显示了这些设置位于comsol多物理模型构建器树中的位置。

屏幕捕获显示移动网格功能下零件>定义，以及两个物理界面之间的物理耦合多物理学>流体结构相互作用。

铜沟中的电沉积

转向电化学问题，沟槽教程模型中的铜沉积表明ALE方法对于模拟电沉积问题至关重要。在此型号中，将铜沉积在具有小“沟槽”的电路板上。与沟槽的整体尺寸相比，沉积的铜层变厚，因此随着沉积的进行，铜表面的大小和方向发生了明显变化。由于该表面不同点处的铜沉积速率是不均匀的，因此无法忽略边界的形状和运动。

在电沉积模型中解决的物理问题的示意图。

为了计算铜电极电解质界面上给定点处的沉积速率，我们需要物种的浓度和溶液的电解质电势与该点相邻。随着沉积的进展和边界的移动，电解质体积的形状必须连续变化。同样，必须重新计算出改变形状的浓度和潜在分布。

通过ALE方法和完全自动化的多物理学耦合，将沉积速率与边界运动速率和变化形状的计算结合在一起三级电流分布和变形的几何形状接口。在这里，变形的几何形状根据电化学界面计算，以与局部电流密度成比例的速率以与局部电流密度成正比的速率取代铜表面。

使用此模型，我们可以准确地说明沉积过程，以优化其参数。我们还可以尝试不同的应用电位和沉积表面几何形状，以改善沉积的均匀性，从而产生更有效的过程和更高质量的最终产物。

动画显示了沉积过程的演变。显然，沉积发生不均匀，导致其顶部的沟渠开口夹住。

热消融

热消融，讨论以前的博客文章，涉及非常高的温度施加到一个物体上，导致表面融化和蒸发。热消融的例子包括激光去除材料，例如在蚀刻过程，激光钻孔或激光眼手术中 - 以及航天器的隔热罩，因为它重新进入了大气。

动画显示了热消融对材料的影响。

由于我们预计当对象的某些材料被去除时，对象的形状将会改变，因此变形的网格显然是热消融模拟的关键部分。我们需要知道的是对象的形状将如何变化。这取决于我们如何通过诸如传导之类的机制来平衡所施加的热量与在整个结构中流失的热量和热量耗散。

为了获得此信息，我们可以通过使用该方程来求解传热方程传播热量界面。因为物体的质量和形状正在变化，所以传播热量接口耦合到变形的几何形状接口，使用ALE方法根据消融速率取代边界。这传播热量方程预测物体形状随着对象的发展而预测的温度分布。

通过执行这些步骤，我们可以在热消融过程中获得准确的计算。此外，我们可以在消融完成后确定对象的最终形状。这可能使我们能够检查激光焊缝是否会落在可接受的公差之内，或者航天器是否会在紧急降落中幸存下来。

在模拟中使用变形网格

Leonhard Euler和Joseph-Louis Lagrange在数学领域的贡献为模拟涉及多物理应用程序的各种系统铺平了道路。他们的各个方法的组合导致了啤酒方法的开发，当对象变形或位移时，可用于预测身体行为。通过正确考虑这些动作，您可以设置高度准确的模型。当您调查这些利用啤酒方法的这些模型时，请记住要感谢Euler和Lagrange！

ALE方法是ComsolMultiphysics®软件中众多内置物理功能之一。看到更多：

任意拉格朗日 - 欧拉群方法的资源

• 访问此博客文章中包含的教程模型：
  • 微泵机制
  • 沟渠中的铜沉积
  • 通过热消融对材料进行建模
• 了解如何使用ALE方法对线性和旋转位移进行建模以及任意翻译运动：
  • 变形网格接口：旋转和线性翻译
  • 具有变形的网格接口的模型翻译运动