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指定边界条件和各种问题的约束GydF4y2Ba

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经过GydF4y2BaTemesgen KindoGydF4y2Ba

2018年9月7日GydF4y2Ba

在本博客系列的第一部分中，我们讨论了变分问题，并演示了如何使用ComsolMultiphysics®软件来解决它们。在这种情况下，我们使用了简单的内置边界条件。今天，我们将讨论更一般的边界条件和约束。我们还将展示如何使用第1部分中的相同变异问题在COMSOL®软件中实现这些边界条件和约束，并且同样多数学。GydF4y2Ba

分类约束GydF4y2Ba

有几种分类约束的方案。在这里，我们将考虑那些对计算实施最大影响的人。GydF4y2Ba

基于相关的几何实体，我们可以拥有点（隔离），分布式和全局约束。例如，一方面，1D问题中的边界条件是隔离点处的约束。另一方面，应在各个方面保持的条件是分布式约束。全局约束指定解决方案的某些标准（通常是一个组成）。例如，指定肥皂膜的链状电缆或表面积的长度提供了全球限制。GydF4y2Ba

有些人使用该术语GydF4y2Ba点式约束GydF4y2Ba对于分布式约束。我们想在那个和我们所说的清晰区分GydF4y2Ba点约束GydF4y2Ba这里。点约束在单点或有限数量的隔离点上执行。这组点没有长度，面积或音量。但是，分布式约束在一个区域的每个点都保持。这可以是3D对象的边缘，表面或域的每个点。GydF4y2Ba

另一个分类是平等约束与不平等约束。结构力学中熟悉的不平等约束是在接触力学中出现的。组装中接触对象之间的差距必须是无负的。在化学反应工程中，物种浓度的下限也是不平等的。GydF4y2Ba

这些分类重叠。例如，我们可以分布不平等约束和分布式平等约束等。在数学上，不平等约束更具挑战性，因此我们将首先关注平等约束，并在该系列赛中的后期继续前进。GydF4y2Ba

简要介绍平等约束理论GydF4y2Ba

微积分问题GydF4y2Ba

\ textrm {Minimize} \ qquad f（\ bf {x}），\ qquad \ textrm {byfe} \ quad g（\ mathbf {x}）= 0GydF4y2Ba

通过找到增强目标函数的固定点来解决GydF4y2Ba

\ Mathcal {l}（x，\ lambda）= f（\ bf {x}） + \ lambda g（\ bf {x}）GydF4y2Ba

关于两个坐标GydF4y2Ba\ bf {x}GydF4y2Ba和Lagrange乘数GydF4y2Ba\ lambdaGydF4y2Ba。GydF4y2Ba

尽管有适当的扩展，但在变化计算中使用了相同的想法。考虑问题GydF4y2Ba

\ textrm {查找函数} u（x）\ textrm {最小化} e [u（x）] = \ int_a^b f（x，u，u，u，u^{\ prime}）dx，GydF4y2Ba
\ textrm {约为} g（x，u，u，u^{\ prime}）= 0 \ textrm {for All} x。GydF4y2Ba

在这里，分布式约束GydF4y2Bag（x，u，u^{\ prime}）= 0GydF4y2Ba必须在我们的域中的所有点上满足，而不仅仅是在某一时刻。因此，每个点都会有自己的Lagrange乘数，使GydF4y2Ba\ lambdaGydF4y2Ba功能，而不仅仅是一个数字。因此，增强功能是GydF4y2Ba

（1）GydF4y2Ba

e [u（x），\ lambda（x）] = \ int_a^b [f（x，x，u，u’）+\ lambda（x）g（x，x，u，u，u’）] dx。GydF4y2Ba

将一个字段的变异问题转变为约束后，GydF4y2Bau（x）GydF4y2Ba，在两个领域的一个不受约束的问题，GydF4y2Bau（x）GydF4y2Ba和GydF4y2Ba\ lambda（x）GydF4y2Ba，我们将注意力转向最佳标准。重要的是要注意，我们可以在解决方案字段和Lagrange乘数字段中进行独立变化。这给了我们一阶最佳标准GydF4y2Ba

\ frac {d} {d \ epsilon_1} e [u+\ epsilon_1 \ hat u，\ lambda+\ epsilon_2 \ hat {\ lambda}]\ QuadGydF4y2Ba
\ frac {d} {d \ epsilon_2} e [u+\ epsilon_1 \ hat u，\ lambda+\ epsilon_2 \ hat {\ lambda}] \ big big | _ {（\ epsilon_1 = 0，\ epsilon_1 = 0，\ epsilon__2 = 0）GydF4y2Ba

按照GydF4y2BaFGydF4y2Ba和GydF4y2BaGGydF4y2Ba， 我们有GydF4y2Ba

\int_a^b \left[\frac{\partial F}{\partial u}\hat{u} + \frac{\partial F}{\partial u’}\hat{u’} + \lambda(x)(\frac{\partial g}{\partial u}\hat{u} + \frac{\partial g}{\partial u’}\hat{u’})\right]dx=0,
\ int_a^b \ left [\ hat {\ lambda}（x）g（x，u，u，u’）\ right] dx = 0。GydF4y2Ba

这些是我们需要输入的方程式GydF4y2Ba弱形式PDEGydF4y2Ba界面。我们将迅速返回。首先，让我们得出全局（积分）和点（隔离）约束的相应条件。GydF4y2Ba

当我们有全球约束时GydF4y2Ba

\ int_a^bg（x，u，u^{\ prime}）dx = g，GydF4y2Ba

增强功能是GydF4y2Ba

e [u（x），\ lambda] = \ int_a^b f（x，u，u，u^{\ prime}）dx+\ lambda \ left [\ int_a^b g（x，x，u，u^u^{\ prime}）dx-g \ right]，GydF4y2Ba

在哪里GydF4y2Ba\ lambdaGydF4y2Ba是一个数字，而不是字段。GydF4y2Ba

一阶最佳条件是GydF4y2Ba

\int_a^b \left[\frac{\partial F}{\partial u}\hat{u} + \frac{\partial F}{\partial u’}\hat{u’}\right]dx + \lambda\int_a^b \left[\frac{\partial g}{\partial u}\hat{u} + \frac{\partial g}{\partial u’}\hat{u’}\right]dx=0,
\ hat {\ lambda} \ left [\ int_a^b g（x，u，u’）dx-g \ right] = 0。GydF4y2Ba

最后，使用Dirac Delta函数的属性，点（隔离）约束GydF4y2Bag（x，u，u^{\ prime}）= 0，\ textrm {at} x = x_oGydF4y2Ba可以被认为是全球约束GydF4y2Ba

\ int g（x，u，u^{\ prime}）\ delta（x-x_o）dx = 0。GydF4y2Ba

Dirac Delta函数可以类似地用于在2D和3D中的边缘上得出约束，以及3D中的表面。GydF4y2Ba

将上述结果插入全局约束的配方中，我们获得了一阶最佳条件GydF4y2Ba

（2）GydF4y2Ba

\int_a^b \left[\frac{\partial F}{\partial u}\hat{u} + \frac{\partial F}{\partial u’}\hat{u’}\right]dx + \lambda\left[\frac{\partial g}{\partial u}\hat{u} + \frac{\partial g}{\partial u’}\hat{u’}\right]_{x=x_o}=0,

（3）GydF4y2Ba

\ hat {\ lambda} g（x_o，u，u^{\ prime}）= 0。GydF4y2Ba

如果我们有一个以上的隔离点约束，我们将为每个点都有一个lagrange乘数。Lagrange乘数将不是一个字段，而是一个有限的标量，一个在每个隔离点上有效。如果我们有一个分布式约束，该约束不是在整个域而不是在域的一部分上施加的，那么我们只能在该部分上定义Lagrange乘数。在这里，我们将拥有一个Lagrange乘数字段。GydF4y2Ba

在ComsolMultiphysics®中实现约束GydF4y2Ba

现在让我们看看如何在comsol多物理学中实现约束。我们将在上一篇博客文章中考虑相同的肥皂胶片问题，但具有以下边界条件。GydF4y2Ba

u（a）= 2，\ quad u^{\ prime}（b）= 0。GydF4y2Ba

第一个边界条件是我们可以使用GydF4y2BaDirichlet边界条件GydF4y2Ba节点，但出于教学原因，我们将使用更一般的约束框架。上面的两个边界条件可以被重写为GydF4y2Ba

g（a，u，u^{\ prime}）= u-2 = 0，\ quad g（b，u，u，u^{\ prime}）= u^{\ prime} = 0。GydF4y2Ba

我们需要约束方程的部分导数GydF4y2Ba你GydF4y2Ba和GydF4y2Bau^{\ prime}GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

\ textrm {at} x = a，\ frac {\ partial g} {\ partial u} = 1，\ frac {\ partial g} {\ partial u^{\ prime}}} = 0，GydF4y2Ba
\ textrm {at} x = b，\ frac {\ partial g} {\ partial u} = 0，\ frac {\ partial g} {\ partial u^{\ prime}} = 1GydF4y2Ba

最后，我们将在相应的点将其插入弱贡献。来自GydF4y2BaFGydF4y2Ba保持与以前相同。GydF4y2Ba

Comsol软件GUI中弱贡献设置的屏幕截图。GydF4y2Ba

Comsol软件GUI中的辅助因变量设置的屏幕截图。GydF4y2Ba

Comsol软件GUI中第二弱贡献的设置的屏幕截图。GydF4y2Ba
使用点弱贡献指定点约束。GydF4y2Ba

请注意，（来自GydF4y2Ba等式。3GydF4y2Ba）和第二任期（GydF4y2Ba等式。2GydF4y2Ba）已在GydF4y2Ba贡献弱1GydF4y2Ba。这里的逻辑是，因为GydF4y2Ba\ hat {u}GydF4y2Ba和GydF4y2Ba\ hat {\ lambda} _aGydF4y2Ba是独立的变化，设置包含这些变化为零的项的总和等于设置包含每个变化为零的项。下面的图中显示了与上述约束有关的变异问题的数值解决方案。GydF4y2Ba

在comsol多物理学中实现约束后，绘制了解决方案。GydF4y2Ba
溶液在左端的半径2，右端为零斜率。GydF4y2Ba

在理论部分中，我们讨论了不同类型的约束。下表总结了该软件中指定贡献的软件中建议的位置，并根据约束类型定义了未知数（Lagrange乘数）。GydF4y2Ba

约束GydF4y2Ba
类型GydF4y2Ba		 例子GydF4y2Ba 约束贡献包含GydF4y2Ba\ hat {u}GydF4y2Ba 约束贡献包含GydF4y2Ba\ hat {\ lambda}GydF4y2Ba 在哪里定义GydF4y2Ba\ lambdaGydF4y2Ba
分布式约束GydF4y2Ba
  • 对物质行为的限制GydF4y2Ba
  • 解决方案的下限或上限GydF4y2Ba
  • 2D和3D问题的边界条件GydF4y2Ba
 贡献弱GydF4y2Ba 贡献弱GydF4y2Ba
  • 辅助因变量GydF4y2Ba
  • 属性下的贡献GydF4y2Ba
全球（积分）约束GydF4y2Ba
  • 边的长度GydF4y2Ba
  • 物体的重量GydF4y2Ba
  • 表面上的平均位移（温度）GydF4y2Ba
 贡献弱GydF4y2Ba 全局方程GydF4y2Ba节点GydF4y2Ba 全局方程GydF4y2Ba节点GydF4y2Ba
隔离点约束GydF4y2Ba
  • 边界条件1dGydF4y2Ba
  • 对孤立的内部点的限制GydF4y2Ba
 贡献弱GydF4y2Ba 贡献弱GydF4y2Ba
  • 辅助因变量GydF4y2Ba
  • 属性下的贡献GydF4y2Ba

指定通量（力）GydF4y2Ba

到目前为止，我们讨论了指定约束。为此，我们介绍了未知的Lagrange乘数。在许多物理问题中，拉格朗日乘数是强制执行约束所需的反作用力或通量。如果您不知道施加的力或通量，那么您如何指定？GydF4y2Ba

回到功能最小化和重新制定的功能，包括力（磁通）。例如，对于结构力学中的边界负载，这增加了由于负载而导致的虚拟工作。输入在comsol多物理接口中的表达式类似于我们为约束所做的事情。力的已知值（Flux）代替Lagrange乘数，我们不需要Lagrange乘数的辅助变量。结果，包含Lagrange乘数变化的术语消失了。GydF4y2Ba

在我们以前的GydF4y2Ba有关如何添加点负载的博客文章GydF4y2Ba（来源）使用较弱的贡献。GydF4y2Ba

将约束添加到不在几何序列中的点GydF4y2Ba

有时，我们希望在我们的域中的一个点上添加一个约束，该点未明确插入（或通过曲线相交）在几何序列中。如上所述，我们无法选择点并将其与点弱贡献相关联。但是，我们可以添加全球弱贡献，并使用域点探测来指代解决方案及其变化。GydF4y2Ba

考虑GydF4y2Ba链状GydF4y2Ba电缆在两端支撑。对于每单位长度均匀重量的电缆，变异问题与轴对称肥皂膜问题相同。因此，我们将使用相同的comsol模型。此外，我们要限制高度GydF4y2Ba你GydF4y2Ba至1.95在中心，而无需在几何序列中添加点节点。首先，我们添加了一个域点探测器GydF4y2Ba你GydF4y2Ba。让调查的名称为GydF4y2BaPPB1GydF4y2Ba。对应于（相对应的弱贡献）（GydF4y2Ba等式。1GydF4y2Ba） 是GydF4y2Balam_c*test（comp1.ppb1）GydF4y2Ba， 在哪里GydF4y2Balam_cGydF4y2Ba是新的Lagrange乘数。我们在全球中输入此贡献GydF4y2Ba贡献弱GydF4y2Ba节点如下所示。该节点不允许创建辅助变量，而不是对明确定义的几何实体的弱贡献。但是，我们可以添加一个GydF4y2Ba全局方程GydF4y2Ba节点可以在其中定义Lagrange乘法器并指定约束。GydF4y2Ba

Comsol软件GUI中第三弱贡献的设置的屏幕截图。GydF4y2Ba

使用COMSOL多物理学在几何形状中不在几何学上添加约束的演示。GydF4y2Ba
在几何形状中的点上添加约束。GydF4y2Ba

下面的图显示了包括该约束的解决方案。在网状节点上添加圆圈。左侧的图显示了中心点没有与之关联的网格节点的情况。因此，约束仅满足。在右边，我们在较细的网格上看到了解决方案的情况，在该网格中，中间人添加了一个节点，我们要施加约束。在这里，约束完全满足。GydF4y2Ba

中心点没有相关的网状节点的绘制解决方案。GydF4y2Ba
绘制的解决方案中，中间人添加了一个节点以施加约束。GydF4y2Ba

验证在几何序列中不在几何序列中的点上的内部约束。纵横比未保留在图中。GydF4y2Ba

可以使用类似的策略来增加点负载（来源），例如结构力学，传热或化学运输。如前所述，此类负载在数学上对应于Lagrange乘数。如果我们知道Lagrange乘数，则不会添加全局方程式。相反，我们只是贡献较弱，并且代替上面的LAM_C，我们键入应用机械，热，化学或其他类型的负载。GydF4y2Ba

敬请关注！GydF4y2Ba

到目前为止，在此博客系列中，我们已经展示了如何使用GydF4y2Ba弱形式PDEGydF4y2Ba接口以及如何包括平等约束。GydF4y2Ba

约束在数值解决方案中引入了额外的复杂性。主要是，它们导致鞍点问题，而Lagrange乘数实现破坏了刚度矩阵的积极确定性。对于非线性约束，在非线性迭代过程中存在奇异矩阵的其他危险。这在全球和分布式约束中尤其有问题。GydF4y2Ba

在本系列的下一部分中，我们将展示用于规避这些问题的数值策略。在使用平等约束讨论这些策略之后，我们将在本系列后期进行不平等约束。GydF4y2Ba

查看各种问题和约束系列中的更多博客文章GydF4y2Ba

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Musa AliyuGydF4y2Ba
Musa AliyuGydF4y2Ba
2018年9月10日GydF4y2Ba

做得好！GydF4y2Ba

穆罕默德·卡泽米（Mohammad Kazemi）GydF4y2Ba
穆罕默德·卡泽米（Mohammad Kazemi）GydF4y2Ba
2020年4月12日GydF4y2Ba

谢谢。如果（分布式）约束涉及两个不同的边界（类似于周期性边界条件）怎么办？一个人如何执行？GydF4y2Ba

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