肥皂膜，链条电缆和光束有什么共同点？它们以最小化某些数量的方式行事。这些问题在科学和工程领域（例如生物学，经济学，弹性理论，材料科学和图像处理）中普遍存在。您可以使用ComsolMultiphysics®软件中的内置物理接口来模拟许多此类问题，但是在此博客系列中，我们将向您展示如何使用基于方程的建模功能来解决变异问题。
最小化功能
在基础演算中，我们找到了单个或多个变量函数的最佳值。我们寻找一个数字或有限的数字\ Mathbf {x}最小化（最大化）功能f（\ mathbf {x}）。在变分积分中，我们搜索一个函数u（x）最小化（最大化）功能e [u（x）]。从某种意义上说，我们可以将其视为无限的维度优化。粗略地说，功能可以掌握功能并返回一个数字。例如，确定的积分是一个函数。
在工程问题中，这些功能通常代表某种能量。例如，在弹性理论中，我们可以通过最小化总势能来找到平衡溶液。该术语通常被转移到其他变分问题上，例如变异图像处理。我们将功能称为“能量”，即使它在通常的意义上没有物理代表能量。
戒指之间的肥皂膜。
考虑在两个戒指之间的肥皂胶片Yz- 平面，其中心位于X-轴。我们想找到功能u（x）当我们围绕函数围绕函数的图表时，这给了我们肥皂膜的形状X-轴。此函数最小化以下功能
（1）
更普遍的是，在变化的演算中，我们正在寻找一个函数u（x）最小化
（2）
大多数工程问题都涉及最多包含一阶导数的功能。在本系列的开头，我们将重点关注一个空间维度的此类问题。后来，我们将概括为更高的维度，高阶导数和几个未知数。最后，最大化与最小化负相同，因此我们只会谈论续集中的最小化。
除非另有说明，否则我们将处理的功能是
（3）
解决变异问题
假设您发现自己在山谷中蒙住眼睛。您怎么知道何时到达底部？（顺先至少在当地抑郁症中）。相同的想法用于检查微积分和变化的微积分中的最小值。在微积分中，您可以测试相邻点，而在变化的微积分中，您可以测试相邻功能。
功能u（x）最小化功能e [u（x）]当且仅在每个可接受的变化时才\ hat {u}（x）， 它遵循
（4）
对于少数\ epsilon。
并非每个变化\ hat {u}是可以接受的，因为每个u+\ epsilon \ hat {u}必须满足解决方案的约束。例如，对于固定在末端的电线上的肥皂膜，我们将其与最小功能相比的每个功能也必须固定在电线上。因此，我们只考虑\ hat {u}（a）= \ hat {u}（b）= 0。我们将在以后的博客文章中详细处理限制。
一个必要的条件等式。4是
（5）
假设足够的平滑度以允许分化。
在本系列中，我们不会讨论移动或开放界限的问题。在这种情况下，我们可以将衍生物移入积分内并应用链条规则以获得
（6）
请注意，我们仅改变因变量你及其衍生物，而不是空间坐标X。
如果您对移动边界或接口的问题感兴趣，请查看这些博客文章使用自由表面问题的级别集和相位场方法和用移动网格建模自由表面。
如图所示等式。1对于肥皂剧，我们有f（x，u，u^{\ prime}）= u \ sqrt {1+u^{\ prime}^2} \ rightarrow \ frac {\ partial f} {\ partial u} = \ sqrt {1+sqrt {1+u^{\prime}^2}, \frac{\partial F}{\partial u^{\prime}} = \frac{uu^{\prime}}{\sqrt{1+u’^2}}。因此，肥皂膜的变异问题是找到u（x）这样
（7）
Euler-Lagrange方程
在经典的变分积分中，我们通过零件进行集成以从变化中移动空间衍生物\ hat {u}到解决方案你获取Euler-Lagrange方程
（8）
并使用普通的微分方程（ODE）方法找到解决方案。
在较高的维度中，Euler-Lagrange方程成为部分微分方程（PDE）。
就我们而言，我们不需要使用Euler-Lagrange方程，因此我们不会再谈论它。原因是有限元方法可与变异公式合作。例如，在comsol多物理中，如果您使用系数形式PDE或者通用形式PDE指定Euler-Lagrange方程的界面，该软件在内部制定并求解相应的变分方程，那么为什么要浪费精力呢？正如我们稍后将看到的那样，变分形式还提供了自然思考复杂领域和边界条件的方式。
在comsolMultiphysics®中实现各种问题
为了指定comsol多物理学中的变异问题，我们使用弱形式PDE界面。我们如何区分解决方案你和相应的测试功能\ hat {u}？对于后者，我们可以使用测试操作员。例如，对于肥皂膜问题，必须将各种表述中的整数作为sqrt（1+ux^2）*test（u）+u*ux/sqrt（1+ux^2）*test（ux）在里面弱形式PDE节点，如下所示。
指定一个变分问题。
我们认为简单的限制是，肥皂膜固定在左侧和右侧的电线环上。左右环的半径分别为1和0.9，因此我们知道主要变量你在两端。这Dirichlet边界条件节点用于指定这种边界条件。出于数值原因，在这个特定问题中，我们提供的初始值为1而不是默认值0初始值1。
使用Dirichlet边界条件节点以指定已知边界值。
如果计算溶液，我们将获得下面显示的形状。
在两个垂直圆形线环之间悬挂的肥皂膜的轮廓。
指定一个简单的符号问题
在上面的示例中，我们进行了部分差异F关于你和u^{\ prime}手动。通过使用COMSOL多物理学的符号数学功能，我们可以避免不必要的劳动和潜在错误。
使用符号差异来减少手动工作。
变分解决方案与直接优化
我们可以通过直接优化解决功能最小化问题。在这种方法中，我们不需要得出各种问题。不利的一面是它需要更多的计算工具。例如，在comsol多物理学中，直接优化需要优化模块。如果您对直接优化感兴趣，请查看我们的博客文章使用优化模块解决Brachistochrone问题。
接下来的是…
今天，我们向您展示了如何使用简单约束来解决变分问题弱形式PDE界面。该界面附带每个COMSOL多物理安装。你可以在此博客文章中了解有关弱形式的更多信息。
在即将发布的帖子中，我们将展示如何添加更复杂的约束，例如点，分布式和积分约束。该系列将通过概括较高的空间维度，高阶导数和多个字段来结束。敬请关注！
同时，请与我们联系，以通过下面的按钮了解有关COMSOL多物理的基于方程式的建模功能的更多信息。
查看各种问题和约束系列中的更多博客文章
- 第2部分：指定边界条件和各种问题的约束
- 第3部分：处理约束执行中数值问题的方法
- 第4部分：执行不平等约束的方法
- 第5部分：图像denoising和其他多维变分问题
评论（2）
Mehrzad Tabatabaian
2018年9月29日该型号可供下载吗？
托马斯·格雷舍姆（Thomas Gresham）
2019年1月22日嗨，特姆，
我一直在经历这个系列，发现它非常有趣！变分的演算是一个令人着迷的话题，这篇文章在以相关方式展示概念方面做得很好。
我可能已经在等式7中发现了一个错字。在第一学期，u^2是否意味着是u'^2，因为您将其写在equn 7上方的分化中？在Equn 7中的第二项分子中的一个U中之一？