弱形式概述

该篇弱形式，旨在形式形式旨在没有限有限分析和矢算矢算，，但但但对弱又有浓厚浓厚浓厚兴趣兴趣的的用户提供提供

弱形式简介

comsol多物理学的的物理场物理场，软件软件后台弱来建立数学数学数学场软件没有的接口时，弱时时可以帮助我们写出自己。。。

bettina schieche所所所的的一一：弱形式的优点“。

一个简单示例

现考虑个热源一维稳态热传递。我们主要关注$ 1 \ le x \ le 5 $区间内的温度t，它是位置X的函数起见，我们我们导热系数均匀那么那么那么X轴正方向的热通量问可由温度t的梯度：：

（1）

热通量（内热源热源）

（2）

以上就求的主要。解将出域内温度分布。。该该形式的的方程方程可可见于见于见于见于多个个个个学科学科学科学科学科学科学科学科t由电势，，问由电场；弹性中，t变成位，，问变成应力。

在此此此为什么为什么为什么为什么为什么：不论：不论物理场耦合：不论不论涉及何种种物理机制机制机制机制机制机制机制它们它们它们它们它们都会被被建模处理处理处理成成后后；方程方程方程离散和求解。

一些读者好奇为什么会选择这么简单的例子例子，甚至的例子例子的例子其解析解都解析解都可可由非常简单简单的数学数学或或或物理量物理量物理量

1. 我们希望形式核心思想，不核心思想复杂物理中的数学数学。。。。
2. 博客中，我们拓展涉及系统系统系统系统懂。

弱公式化

方程（2）包含了热通量问的一，或者是，或者是温度t的二次，但在分布情况情况情况下下t的一不，进而不进而使。弱形式的核心思想思想是将将微分方程变为方程变为积分积分方程

如希望将方程（2）变成方程，第一第一是在$ 1 \ le x \ le 5 $的域对：：

以上方表示整个中中$ \ partial_x q（x）$的平均值为零，与，与要求$ \ partial_x q（x）$的值在区间$ 1 \ le x \ le 5 $内全部的微分相比相比相比相比，“太”太弱弱弱$ \ partial_x q（x）$：

该积分只涉及x = 3.5附近的$ \ partial_x q（x）$的值因此，根据以上关系，其值应约：$ \ partial_x Q（3.5）\大约0 $。在$ 1 \ le x \ le 5 $的域位置这想法想法，我们我们原始微分方可以被一组积分积分积分方程

（3）

方程组中越多，近似多多好。如果有数量的此此类类类类积分积分方程方程方程方程方程方程此，我们方程方程类类类类类我们我们我们我们我们最终最终最终能能能能恢复恢复恢复但我们另一方式来实现一。。。

主要思想要一个狭小范围对对$ \ partial_x q（x）$取值。通过方程（3）限定的内，即即实现一。可以将将被积函数乘以加权函数加权函数\ tilde {t}（x）来实现取样操作，这这一狭小内较容易容易操作操作操作操作操作，如如：

然后，我们我们使用的加权函数\ tilde {t}（x）对$ \ partial_x q（x）\ tilde {t}（x）$在整个域$ 1 \ le x \ le 5 $内积分。个加权函数会把被的项项限制在不同X值附近范围内，以以达到方程方程（3）中积分方程组。这样获得了弱，其形式形式形式形式形式

（4）

应该满足一加权函数\ tilde {t}（x），一般称为试函数。对于每个X，例如x = 3.5，我们我们选择个围绕x = 3.5的加权函数作为试函数\ tilde {t}（x）。将该数代入方程（4）后会在x = 3.5附近对$ \ partial_x q（x）$取值，并并不应零：$ \ partial_x Q（3.5）\大约0 $。

将大量权函数作为试函代入方程代入方程（4），每每个围绕区间$ 1 \ le x \ le 5 $内的位置，域域各处$ \ partial_x q（x）$的值会被限制。。

说明：在上图，我们把把把$ \ partial_x q（x）$曲线，而任意任意解解解得出最终解形状。

降低求导阶数

注意到方程（4）中求导阶数和方程（2）中相同毕竟同样都是$ \ partial_x q（x）$（的方程）

（5）

现在，方程方程温度t中的热通量问已不，求导阶数求导阶数由次次次为为次。不过中试函数试函数\ tilde {t}（x）出现了次导数怎么？？

正如一节所到的，试函数是的找出方程解方程解工具工具。

自然边界条件

方程（5）的前项涉及域边缘x = 1和x = 5处的及，热通量，热通量问定义为沿X- 轴正我们离开进行进行重写重写重写重写重写重写重写重写重写移至：

（6）

其中$ \ lambda $是向，角标，角标1和2分别表示域边界x = 1和x = 5。\ lambda_1 \ equiv -q（x = 1）\ mbox {，} \ lambda_2 \ equiv +q（x = 5）\ mbox {，} \ tilde {t} _2 \ equiv \ tilde {t}（x = 5）。

此外，我们我们关系式关系式（1），并使用温度t及其试函数\ tilde {t}写出了。的右侧自然将边界以热通量的形式表示出来。。最简单简单就就就\ lambda_1和\ lambda_2设为0，得出得出边界（即热通量边界。。）

comsol多物理学传热传热传热条件是是热“，”，固体热绝缘绝缘绝缘绝缘绝缘缺省条件是是是自由边界力边界力边界力边界力边界力边界力边界力边界力边界力边界力边界力边界力边界力（（（（（））的的的的的自然边界条件或是诺伊曼边界条件。

固定边界条件

另一边界条件常称为称为固定边界条件或是狄利克雷边界条件，，它它解变量的示例示例示例中中（（（（）；；流动固体力学力学力学力学

如之前所，弱弱提供了自然的来来指定指定的的热通量。那么该该如何指定指定边界处边界处？

技巧：利用条件的数学，同时结构结构结构并限制的思路。。从概念上上上讲讲讲内热通量公式化问题：找到：找到边界一点处维持固定温度所需热通量。。。。。

例如，如果如果在在x = 1处将流出通量\ lambda指定为2，在x = 5处将温度t指定为9，将将引入个变量变量\ lambda_2及对应的试函数\ tilde {\ lambda} _2，并将方程（6）写：：

（7）

这里，等等的第一指定指定x = 1处的向通量为2，第二项指定x = 5处的通量；项均由方程（6）右侧的边界条件项。。

新的变量\ lambda_2表示在边界x = 5处的通量中的第三项了与之前讨论试函数\ tilde {t}（x）时相同，即使用，即使用试函数\ tilde {\ lambda} _2保证在x = 5处解为t = 9。

对于更高的考虑

到目前，我们在讨论非常一一。更高的的，例如，例如，方程或是，方程

弱将积分方程。积分积分对进行负担负担负担负担负担负担，并并负担负担负担负担负担负担计算计算产生产生产生产生产生产生产生自然自然自然自然自然边界边界条件条件条件以以明确明确明确边界处边界处边界处的的的通量通量。。通量是点处的。。

在维和中，边界边界是和域的闭合面方程方程方程（6）的右侧通量的面积面积，即分分，二。本质，二上上散度定理来得到内边界通量的线面积。。。

在篇我们选择一一维示例，旨维示例维示例，旨在保证弱形式的的核心

总结及下篇博客

今天我们使用对解进行降阶降阶公式化方法对对形式形式进行进行分部分部积分利于积分利于积分利于降低降低求导阶数求导阶数。同时同时也也提供一种种以通量通量或边界条件方法，即自然边界或边界。。。

实际时，通常需要我们所称固定或是边界边界条件来来指定指定指定要求的的，而变量变量变量变量变量而而，弱弱与试函数自然边界相同的。。

至此，我们使用的解析形式形式，没有原始形式形式形式形式它进行任何任何数值近似近似。。在在在下篇博客中中中中中中中中中中中中（7）之后之后，我们将讨论数值似值是的的的的的，同样软件的的的的的求得求得求得求得求得求得求得的问题问题如何如何如何方式方式求解求解求解求解求解