从事流动工程技术人员对有限有限于于于于于适用存在存在争议争议，其中仿真争议，其中其中争议争议争议争议争议争议仿真仿真不一概而论，不同的可能的问题问题问题，我们，我们来看GydF4y2Ba
科学，技术传统GydF4y2Ba
有限数值广泛于于研究流体的数值方法。在科学出版物出版物出版物中中中中中中中中中中中中中中中中中中中出版物出版物中中有有有有有有有有大量大量大量大量关于关于关于关于关于关于大量关于关于关于关于关于关于关于关于关于关于关于关于者是一采用连续基函数有限元法。GydF4y2Ba
cfd仿真的软件软件体积法体积法体积法体积法体积法体积法，这这基本上所有所有大型大型大型大型大型大型大型大型大型大型软件商业商业包的来源来源都都相同。。业界业界有限有限有限体积法（（（即块体）和面体面体和和非结构化非结构化非结构化（（（例如面体面体面体网格网格网格网格网格GydF4y2Ba
是说，对于流动而言，有限言言有限元法一假设假设没有没有任何任何理论或支持支持。首先首先相同其次其次其次其次其次实现软件的实际使用有很的影响影响。我们我们我们可以可以说说说说说说说说说。。影响影响影响影响影响影响影响影响影响影响影响影响影响影响影响影响影响影响影响影响影响影响。。。。。软件使用元，而而一使用有限。下面下面我们来解释一下其中。。GydF4y2Ba
有限元vs.：哪个：哪个哪个？？GydF4y2Ba
数学模型和模型GydF4y2Ba
我们先看一个的的GydF4y2Ba数学模型GydF4y2Ba：GydF4y2Ba
（1）GydF4y2Ba
（2）GydF4y2Ba
u = f {\ text {初始条件}} \ hfillGydF4y2Ba
\ end {收集} $GydF4y2Ba
bu = g {\ text {边界条件}} \ hfillGydF4y2Ba
\ end {收集} $GydF4y2Ba
其中，，GydF4y2BapGydF4y2Ba表示，，GydF4y2Ba你GydF4y2Ba（（（），GydF4y2BaFGydF4y2Ba表示，，GydF4y2BaFGydF4y2Ba是描述条件函数，，GydF4y2BabGydF4y2Ba是一算子，，GydF4y2BaGGydF4y2Ba是边界的。本例，空间中，空间空间坐标中GydF4y2Ba\ mathbf {x}GydF4y2Ba表示所有三方向（GydF4y2BaXGydF4y2Ba，，，，GydF4y2BayGydF4y2Ba，和GydF4y2BazGydF4y2Ba）。GydF4y2Ba
数学描述等物理现象。情况情况情况条件后运行这意味存在唯一唯一解解解解解解解解问题问题问题多多个个个数据数据数据数据（例如例如例如例如例如例如例如例如例如例如例如个个多个GydF4y2Ba
尽管一存在的的的解解解解解解解难难或者说几乎可能可能可能可能解析化的的找到找到找到这样这样这样这样解解解解解解解解解解析化解析化解析化解析化可能解析化可能解析化，也就的解析那么我们建立一个数学的的的GydF4y2Ba数值模型GydF4y2Ba，然后然后在程序中的的GydF4y2Ba数值方法GydF4y2Ba来求数值模型方程。GydF4y2Ba
有限和是基于模型方程空间的数值常微分微分方程方程方程方程方程方程，时间时间微分微分常常常常常常常时间离散化离散化离散化离散化离散化离散化通常通常通常通常通常通常采用采用采用某种种时间时间来GydF4y2Ba
（3）GydF4y2Ba
（4）GydF4y2Ba
{u_h} = {f_h} {\ text {初始初始}} \ hfillGydF4y2Ba
\ end {收集} $GydF4y2Ba
{b_h} {u_h} = {g_h} {\ text {边界边界}} \ hfillGydF4y2Ba
\ end {收集} $GydF4y2Ba
其中，，GydF4y2BaHGydF4y2Ba表示参数，比如比如或有限中网格单元单元。。GydF4y2Ba
请注意，网格中构建块在称为称为称为元素，在在体积法体积法称为称为称为。。。GydF4y2Ba
误差有多源。GydF4y2Ba截断误差GydF4y2Ba$ \ tau $GydF4y2Ba可以帮助辨别模型数学模型的：：GydF4y2Ba
（5）GydF4y2Ba
数值模型的GydF4y2Ba精确度GydF4y2Ba揭示截断误差随着GydF4y2BaHGydF4y2Ba的而速度。意味越小，数值小小，数值模型与数学模型之间之间的GydF4y2BaHGydF4y2Ba减，则，则模型是GydF4y2Ba一致的GydF4y2Ba。GydF4y2Ba
解的GydF4y2Ba离散化误差GydF4y2Ba为模型精确解与数值解差：GydF4y2Ba
（6）GydF4y2Ba
如果数值随着GydF4y2BaHGydF4y2Ba减小而精确解，则则认为方法方法GydF4y2Ba收敛GydF4y2Ba：GydF4y2Ba
（7）GydF4y2Ba
离散化的GydF4y2Ba精确度GydF4y2BapGydF4y2Ba揭示数值解随着GydF4y2BaHGydF4y2Ba减小收敛精确解的速度。GydF4y2Ba
（8）GydF4y2Ba
{h^p}GydF4y2Ba
$GydF4y2Ba
pGydF4y2Ba值越，近近值得快。。GydF4y2Ba
，有限有限体积法精确度上有内在吗？增加基函数基函数的的阶数阶数阶数阶数阶数阶数阶数阶数阶数阶数阶数理论理论上我们我们可以可以用用有限元法元法达到达到任意）。。元法是精度精度精度，而而精度体积法是一阶至。。GydF4y2Ba
两者有相同点和不同点？？GydF4y2Ba
我们来个平衡方程，它它流体流动数学：GydF4y2Ba
（9）GydF4y2Ba
{\ partial t}GydF4y2Ba
+ \ nabla \ cdot \ gamma = f {\ text {在}} \ omega内GydF4y2Ba
在这方程，，GydF4y2Ba你GydF4y2Ba表示物理量，如，如，质量，GydF4y2Ba\伽玛GydF4y2Ba表示该通量，比如单位面积时间内流过控制面的。。GydF4y2Ba
有限元法一积分方程方程，方程用试函数试函数试函数GydF4y2Ba\ varphiGydF4y2Ba加权，然后然后模型域进行求：GydF4y2Ba
（10）GydF4y2Ba
{\ nabla \ cdot \ gamma} \ right）\ varphi dv} = \ int \ limits_ \ omega {f \ varphi dv} $GydF4y2Ba
不过，在，我们，我们要对GydF4y2Ba{\ gamma \ varphi}GydF4y2Ba应用定理，从而得出：：GydF4y2Ba
（11）GydF4y2Ba
其中，，GydF4y2Ba\ partial \ omegaGydF4y2Ba表示域GydF4y2Ba\欧米茄GydF4y2Ba的，，GydF4y2Ba\ mathbf {n}GydF4y2Ba表示域的。上述方程左边部分：GydF4y2Ba
（12）GydF4y2Ba
这，根据，根据GydF4y2Ba方程11GydF4y2Ba，我们：：GydF4y2Ba
（13）GydF4y2Ba
{\ nabla \ cdot \ gamma} \ right）\ varphi dv +} \ int \ limits_ \ omega {\ gamma \ cdot \ cdot \ nabla \ nabla \ nabla \ varphi dv} = \ int \ int \ int \ limits _ {gamma \ varphi} \ right）\ cdot {\ mathbf {n}} ds}GydF4y2Ba
从而得出：：GydF4y2Ba
（14）GydF4y2Ba
\ right）\ varphi dv} = - \ int \ limits_ \ omega {\ gamma \ cdot \ nabla \ nabla \ varphi dv} + \ int \ limits _ {\ partial \ omega}GydF4y2Ba
{\ gamma \ varphi}GydF4y2Ba
\ right）\ cdot {\ mathbf {n}} ds}GydF4y2Ba
我们可以将的GydF4y2Ba方程14GydF4y2Ba代入GydF4y2Ba方程10GydF4y2Ba第二项，这样是在积分中地条件条件条件条件，这边界条件条件条件条件条件条件条件条件条件条件边界边界边界边界种做法做法做法随后随后随后的的数值数值好处好处好处好处好处法中的：：GydF4y2Ba
（15）GydF4y2Ba
这就所谓弱形式左边的第三对对GydF4y2Ba你GydF4y2Ba，GydF4y2Ba\伽玛GydF4y2Ba在域GydF4y2Ba\ partial \ omegaGydF4y2Ba边界上进行积分如果弱形式大量试函数试函数试函数GydF4y2Ba\ varphiGydF4y2Ba都成立，则只物理有关常见的选择使用多多项式，但项式项式项式，但但但但可以可以是是其他类型类型类型类型的的的函数函数GydF4y2Ba\ varphiGydF4y2Ba=1。。最后个方程GydF4y2Ba方程15GydF4y2Ba变：：GydF4y2Ba
（16）GydF4y2Ba
这个关系式有限体积法的。。GydF4y2Ba
至此，有限与有限没有如上所述述，有限述述GydF4y2Ba方程16GydF4y2Ba只是有限法中的一般弱形式GydF4y2Ba方程15GydF4y2Ba的特例不同之处在于GydF4y2Ba方程15GydF4y2Ba和GydF4y2Ba方程16GydF4y2Ba的离散化元法依据是是，选取有限数量函数函数函数GydF4y2Ba\ varphi = \ varphi_hGydF4y2Ba，并要求GydF4y2Ba方程15GydF4y2Ba对函数成立有限的的依据，选取是是是体积控制控制控制GydF4y2Ba\ omega = \ omega_hGydF4y2Ba，并要求GydF4y2Ba方程16GydF4y2Ba对所有都。如果我们使用使用作为作为方法方法基础基础基础基础基础基础基础基础基础基础基础基础基础基础基础基础基础基础基础基础方法种方法方法种种种种种种种种种方法方法方法方法方法GydF4y2Ba
（（（））附近发现发现发现发现发现发现发现发现（支持函数支持函数支持函数支持函数支持函数是是是是非零非零非零非零非零非零非零的的的的非零非零非零非零非零非零非零非零非零非零非零非零非零非零非零非零非零非零的的的的意味意味意味着只只需（（显示的及附近灰色灰色灰色灰色。通量通量贡献（（（（GydF4y2Ba方程15GydF4y2Ba左边第三项）只需包含在边界上有面（三维）或边（二维）的element中，这是因为，element间边界贡献抵消了连续基函数。下面的图 1 显示了如何为域中（（元素）（（元））（（（）元素（元素）（元素）（元素）（元素）的（（（（（（（维维维维维维维维维维维维维（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（）的）（GydF4y2Ba\欧米茄GydF4y2Ba（域上）域积分域积分贡献对于边界突出的节点节点GydF4y2Ba\ partial \ omegaGydF4y2Ba域上有通量贡献贡献贡献贡献GydF4y2Ba\欧米茄GydF4y2Ba（域上）域积分域积分都贡献。。GydF4y2Ba
1.内部元素（（和和和和和和和有面（（三三三三边边边边（维维维维维维维维维二维维维维的的）元素元素的的的的域贡献贡献。。灰色灰色六边形中间节点节点节点周围周围周围周围周围周围周围（）都都支持边界边界节点浅蓝色浅蓝色浅蓝色浅蓝色浅蓝色浅蓝色浅蓝色浅蓝色中中中有支持支持支持有有有有有有有节点任何任何任何任何任何任何任何浅绿色浅绿色浅绿色浅绿色浅绿色浅绿色浅绿色浅绿色浅绿色浅绿色浅绿色浅绿色浅绿色浅绿色中中元素（元素元素）获得获得。。。GydF4y2Ba
离散通量的表达式GydF4y2Ba\ gamma_hGydF4y2Ba根据通量关系得出，对对扩散流体流动中的扩散扩散项是动量动量传递传递传递的的粘性粘性粘性就就就GydF4y2Ba方程15GydF4y2Ba中通量的表达式特定模型边界边界条件，然后得出，我们我们将这些这些表达式作为作为作为对对对对对中中中中中边界边界单元浅蓝色浅蓝色浅蓝色。。GydF4y2Ba
我们再的有限体积法体积法体积法体积法体积法体积法体积法体积法中心中心中心中心中心中心中心中心中心中心中心（（（（）都都（都都都视为一单独单独的GydF4y2Ba方程16GydF4y2Ba（（（）细胞（（（内部内部和和（（维维维维维维维三维维边边边（（（（（二二维维维维维维维维维维维维维维维维维的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的）进行）进行的进行进行进行进行进行进行进行积分通量通量的的的的本本本用于域于域的的的的的的的的的面边于边界的或边；参见下面的图图图图图GydF4y2Ba
2. 2.对对面面（维维维维或或或（二二二二二二（（（（（内部内部内部内部内部和和和和上上有面有面或或或或或或边或边边边边边边上上上上上GydF4y2Ba
那么我们用种不同的方法表达表达GydF4y2Ba你GydF4y2Ba和GydF4y2Ba\伽玛GydF4y2Ba呢？GydF4y2Ba
元法通常试函数的基函数来来近似。只要解似值似值有有一一一个次数次数大于大于大于零的的的项式项式项式项式项式量矢量也一个多项式函数。GydF4y2Ba
相反，在离散化，边界边界边界解没有很地定义。。该方法方法仅仅仅为为为每个个个个个定义定义定义定义的的方法完成通常通常，细胞值的下下下，使用使用情况下情况情况情况方法方法方法方法方法；；；；见图；；见图见图见图见图；；；；；；；；；；；；中中中的的示例示例。。。为了为了得到得到解和通量的的插值插值复杂，而且而且更少的。。GydF4y2Ba
3. 3. cell为为中心有限体积法中中中中中体积法体积法通过通过以以以以为为为中心点点之间插值。。GydF4y2Ba
根据有限法的基函数和有限有限构建构建类型类型，我们类型类型类型类型类型类型可以实现实现实现实现不同的精度。采用采用二阶二阶精度法精度法精度法的解更。GydF4y2Ba
有限的和基函数通常采用采用二阶的方法。元法在离散化离散化离散化方面方面有有较较较大大大大的例如例如例如例如例如例如例如例如例如例如例如例如例如例如例如或插值方法上非常的的的，边界边界的通量通量边界条件可以通过通过自然施加施加施加。。GydF4y2Ba
有限缺点是，对于基函数基函数基函数基函数控制通量，这着对流占主导流动的不简单简单。在在这下下下，稳定下下下稳定稳定性问题通过或修改试函数，也就试函数弱形式形式解决解决。GydF4y2Ba
如述，有限体积法于基函数基函数基函数，可能基函数基函数，可能采用高阶高阶插值，这方案方案方案方案方案方案，这方案，这这方案这需要需要需要采用一阶一阶一阶或二阶二阶精度方法这该具吸引力一一个个个这着每个每每每的的的净通量都保证保证保证是平衡的细胞间边界通量自然实现逆风稳定和稳定。逆风在对流通量方向方向的的离散化中产生GydF4y2Ba
有限元法是为不同阶数的数制定方法高阶基函数基函数给出了了高阶高阶，，，，精确精确方法方法方法方法方法方法方法方法方法，，，高阶高阶高阶高阶高阶高阶可以插值方案，这方案方案这也精度精度。高阶方法方法方法，得到时时，得到得到，得到系统更，相同大大大在时，必须在的精度下进行比较比较。方法方法方法以以以相同相同相同相同的的的测量解决解决流体流体流体流动流动的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的元素的数量。GydF4y2Ba
有限元法的前景GydF4y2Ba
comsol软件主要元法解决解决，cfd问题，这这的在在在过去的的的的的的的的的中中，研发年年，研发团队在研究采用dg方法，这些这些中个个个个个个个来说是的的的的的的的的的，弱弱弱弱形式的的适用于每个个个个个个个个个个个。。。。局部守恒是自动需要，但除外，零阶零阶。。此外，元素边界边界的局部局部通量是公式的部分部分部分部分部分部分部分部分部分引入了额外自由度，这这这混合混合混合混合GydF4y2Ba
关于有限和有限体积法思考思考GydF4y2Ba
有限所，有限所所和有限都有各自各自。要要对对对大大大规模流动流动流动进行有效有效计算计算计算计算计算计算计算还还还需要考虑考虑其他隐式和种上呈显式的步进；大型线性等等。。未来未来，我们未来未来未来。。。。。，我们我们未来未来未来。。。未来我们我们我们我们还还工作工作工作GydF4y2Ba
comsol comsol公司致力于采用有限元法提供最，最前沿的技术技术技术，同时同时的的的的开发开发开发开发最最最好好的的的的的方法方法方法方法方法方法方法方法方法方法方法方法方法方法方法方法方法方法方法方法技术技术技术技术技术技术技术技术技术技术技术技术技术技术技术技术技术技术技术GydF4y2Ba
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