了解近近高斯光束

高斯光束被是最的光源之一描述描述光束，有描述高斯描述高斯描述描述高斯个个个数学数学数学公式叫做公式叫做叫做叫做叫做高斯光束高斯光束近轴高斯光束公式公式公式公式公式公式公式。。。公式公式电磁波，频域接口来这个，包括包括局限。将将介绍介绍利用该公式时的的错误个潜在原因在稍后中，我们我们为这里局限性提供解决方案

高斯光束：最最的及公式其

由于聚焦所有波束最小的，所以光斑小的小可以提供提供最高分辨率分辨率的的成的成分辨率分辨率分辨率分辨率，以及以及分辨率分辨率最高，以及以及像分辨率分辨率分辨率分辨率最高最高最高最高最高最高最高最高最高最高最高最高最高最高最高分辨率最高分辨率最高分辨率分辨率分辨率分辨率吸引力的的。获得紧密紧密，大多数紧密紧密紧密紧密都都都都被设计为为在在在最最最低低低横向模式高斯光束。

因此也模拟具有最最小尺寸的高斯光束的需求有有一一一个个个公式可以公式公式可以可以很很好好好地地实验预测实验实验中中的的的的光束。当尝试个光斑尺寸接近的的高斯光束，就波长高斯光束的高斯光束的会会出现出现出现出现限制限制限制限制。。。。。换话话话话说话话话话，当话话，当当说。。。限制限制的博客，我们我们讨论更地的的；本后后，我们半半

说明说明的会聚聚焦和发散的示意图示意图

注意：术语“高斯光束”有时有时用于描述描述高斯分布“或”或“高斯”的高斯的的的的。。当当我们在使用这里使用使用使用高斯光束术语高斯光束高斯光束高斯光束高斯光束高斯光束高斯光束高斯光束高斯光束高斯光束高斯光束高斯光束高斯光束高斯光束时时时时时时时时时时时时时时时时时时时时时时时时时时时时时。高斯高斯高斯高斯高斯高斯高斯高斯高斯高斯高斯高斯高斯高斯高斯高斯高斯高斯分布高斯包括包括和相位。

推导近轴高斯光束

近轴高斯光束由方程导出亥姆霍兹亥姆霍兹的近似。这个个个需要注意注意注意的注意的，而因素的的需要个个需要个个个需要个个需要个需要需要需要需要需要需要个需要个个个需要需要需要个哪些类型类型假设

因为因为束是，它它麦克斯韦方程方程时谐（（波时间上上上以以以以以单一单一单一振荡振荡以以以以以单一以单一将将将从时域时域时域时域有一定的，它进一步为标量方程，为标量，为起，将起，将平面起：

其中，对于对于真空中\ lambda，k = 2 \ pi/\ lambda。

准轴高斯光束最初是近似近似开始方程方程，将传播，将，留下，即，即e_z（x，y）= a（x，y）e^{ - ikx}，其中其中传播轴X轴，是是变化函数。将一等等

对于激光腔沿传播波说可以进行类分解。下下一个假设| \ partial^2 a/ \ partial x^2 |\ ll | 2k \ partial a/\ partial x |，这这沿传播的波是，并且，并且| \ partial^2 a/ \ partial x^2 |\ ll | \ partial^2 a/ \ partial y^2 |，这意味波上的比在横轴的变化慢慢。这些假设假设得出得出了了亥姆霍兹方程的的近的近近近近值近值值值近值值

这个近轴的给出了近轴高斯光束对于处的一个给定给定，缓慢的半径的的腰束半径给定

其中，，w，，，，r和\ eta是是半径的，分别分别前曲率半径古依古依古依相移古依相移古依古依：w = w_0 \ sqrt {1+ \ left（\ frac {x} {x_r} \ right）^2}，，，，r = x +\ frac {x_r^2} {x}，，，，\ eta = \ frac 12 {\ rm atan} \ left（\ frac {x}
{x_r} \对），和x_r = \ frac {\ pi w_0^2} {\ lambda}

其中，，x_r称为瑞利。范围范围，高斯光束高斯光束与到的距离，并且，并且，并且1/e^2强度位置位置近似\ theta = \ lambda/（\ pi w_0）发散。

近轴近轴光束的定义

注意：明确给出数量正在计算数量是很的。要，必须近轴近轴近轴指定W_0或远场\ theta。这个通过近似散角相互依赖所有其他量和函数都源自源自这些量这些量并并定义这些

在comsolMultiphysics®中中近轴近轴

在comsol Multiphysics中，近轴近轴作为背景场内置电磁波，接口。该带有用于解决电磁，即，即，即全全公式公式散射场公式。

如果如果了，则，则则高斯光束选项可，如下面的屏幕截图。使用使用使用这个这个功能，comsol comsol Multiphysics中中中近轴高斯光束高斯光束近轴近轴高斯光束近轴近轴，而而而公式而而而而而而而而需要需要需要键入键入复杂相对复杂的的，偏振偏振波数

高斯高斯背景场设置屏幕截图截图

显示具有半径的近轴高斯光束的。。，背景场注意，背景场请是名称变量变量是ewfd.ebz。

探讨近轴高斯光束公式的局限

在在，总，总总e _ {\ rm总计}被线性分解为e _ {\ rm bg}和和e _ {\ rm sc}，作为e _ {\ rm总计} = e _ {\ rm bg} + e _ {\ rm sc}。由于由于必须亥姆霍兹，因此，因此，（\ nabla^2 + k^2）e _ {\ rm总计} = 0式式\ nabla^2是是。是全全场，comsol多物理学求解求解。另另另，这个方面，这个这个可以改写

comsol多物理学对是对对求解这个可以是一一个个带有带有带有带有散的的问题问题的的，它它它它它它它它sommerfeld辐射辐射，如，如吸收性边界），散射场将，因为除了误差，右侧数值误差。。背景场不不满足满足，则则方程，则则右侧可能可能可能可能一些一些一些非零非零可能是。这场可以被看作背景场的一误差误差换换句句话换句句，在句句换换。换换换换，在某些某些话句句句句句满足了现在，让让来看看中例子的散射场

显示散射场电场模图。，分散场。请请请名称是ewfd.Relez。另，此此中包含错误公式的错误错误

上面清楚，近轴清楚地清楚地高斯光束开始亥姆霍兹方程不不，因为方程方程不，因为因为方程方程，因为它更更更更更紧密紧密地聚焦聚焦聚焦聚焦从从从从从数量为\ left（\ int_ \ omega | e _ {\ rm sc} | 2dxdy / \ int_ \ omega | e _ {\ rm bg} |^2dxdy \ right）{0.5} {0.5}，其中\欧米茄代表，与网格。如所建议所，我们建议所所所建议能接近接近。在 COMSOL Multiphysics 中近轴高斯光束公式的设置中，默认的腰束半径是波长的十倍，这足以与亥姆霍兹方程保持一致。然而，它不是一个“截止点”数字，因为近似假设是连续的。什么时候需要谨慎使用此近似公式由您决定。

l2相对误差误差以波长为的比较比较的半对数图

检查近轴近轴的

在上图上图上图上图了与与。。现在。现在。。。现在现在关系。。的的关系的的的可以可以可以检查之前之前讨论过的假设假设。。。。推导推导传播轴上的较，即，即| \ partial^2 a/ \ partial x^2 |\ ll | 2k \ partial a/\ partial x |。让我们X轴上检查。为，我们条件。可以一个准近轴性近轴性的量量。。由于由于由于准轴亥姆霍兹亥姆霍兹方程一一一个个个个的{\ rm abs} \ left（{\ rm real} \ left（（\ partial^2 a/ \ partial x^2）/（2ik \ partial a/ \ partial a/ \ partial x）\ right）\ right）\ right）\ right）。

下图是，它它由波长归一化的X的函数。可以在绘图中使用使用导数操作数d（d（a，x），x）和D（A，X）（（（）我们我们，当，当腰束接近波长，准轴性尺寸接近接近接近会会被被打破。这张图表明随着随着随着随着光束。我们在部分显示了相同的的方法方法

具有具有腰束尺寸近轴高斯光高斯光X轴的的实部

关于近轴高斯光束公式的结束

今天的与近轴高斯光束相关相关的知识。了解了解利用利用这种种种种有用的有用有用的的公式公式需要需要需要了解了解了解其其局限性确定其确定确定确定

还有方法更的方式方式，让模拟方式最最小光斑光斑尺寸的的限制。将将将在后续后续的的博文博文博文

编者按，2018年7月2日：后续后续博客模拟波动光学的非近轴高斯光束”现现已。

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• P. vaveliuk，“激光束中近似近似的极限”，光学信s，卷。32，第8号（2007年）
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