多物理环状体

结构力学特征频率分析

特征频率分析简介

特征要么固有频率是系统容易振动的某些离散频率。固有频率出现在许多类型的系统中，例如，作为乐器或电气RLC电路中的站立波。在这里，我们主要描述了机械结构中特征频率的研究，但许多概念通常适用。

当在特定特征频率上振动时，结构变形为相应的形状，本本莫德。特征频率分析只能提供模式的形状，而不是任何物理振动的幅度。只有与阻尼特性一起知道实际激发，才能确定变形的真实大小。

确定结构的本征是结构工程的重要组成部分。这种分析的一些目标是：

• 确定周期性激发不会引起可能导致过度压力或噪声排放的共振
• 确定周期性激发会引起共振，例如压电振动器
• 基于与加载的频率含量相比，所有固有频率都很高的事实，检查结构的准危化分析是否适当
• 研究适当的时间步骤或频率以进行随后的动态响应分析
• 提供基于模式叠加的后续分析的本本示本
• 通过研究其模式的形状，提供有关设计变化如何影响某些本征频率的见解

_{调谐叉的第一个固有频率（440 Hz）处的自由振动。位移被强烈放大。}

具有单一自由度的系统

没有阻尼

作为引言，我们可以研究一个由质量和弹簧组成的简单系统，如下图所示。

质量运动方程是

但是，如果没有外力对质量作用，则可能仍然存在非零溶液。可以立即验证

实现均匀的运动方程

这里，是个自然角频率，具有单位rad/s。它与固有频率（单位：Hz）。只要没有混乱的风险，有时会使用不太严格的语言称为固有频率。

我们可以将上述解决方案解释为：一旦过程启动，就可以在此频率上精确地存在自由振动，而无需任何外部激发。例如，如果您伸展弹簧，然后放开，则质量将以此频率永远振动。在现实生活中，总会有一些阻尼，因此振动最终会消失。

上面特征频率的表达在刚度和质量如何影响特征方面表现出非常普遍的行为：

在自由振动，系统中的能量是保存的。质量的动能在春季转化为应变能，反之亦然。

阻尼系统

假设系统中也有粘性阻尼，那么运动方程是

分析谐波振动时，采用复杂符号很方便，在谐波函数中表示。这样的符号将在以下方程式中使用。在复杂的符号中，位移可以写成， 在哪里是一个复杂值振幅。在此表示法中，每次导数给出一个因素。运动方程在没有任何外力的情况下可以转换为

这个方程只能满足某些值（对于非平凡情况），由

使用符号

和

特征值方程可以写为

这里，称为未阻尼的自然（角度）频率和称为阻尼比。

是上述二次方程的解决方案的特征值是

插入此值，复杂值的位移是

在哪里是任意振幅。

该表达的周期部分具有抑制自然（角度）频率。在谐波部分的前面，有一个指数衰减的乘数。因此，在阻尼系统中，自由振动将消失。

仅在。过度阻尼的系统不会在任何固有频率下引起共鸣。

通常，阻尼过程很难表征。由于其数学简单性，上面使用的粘性阻尼很受欢迎。另一个常见的阻尼模型是滞后阻尼要么损耗因子阻尼。该模型不能用时间导数明确描述，而是直接用频域中的复数来表示。假定弹簧的力与位移不相同，导致复杂的值刚度。由此产生的特征值方程

在哪里是损失因素。

复杂的特征频率将是

，，，，

这再次是复杂的值。对于损失因子的小值，指数因子给振荡的衰减幅度。

具有多个自由度的系统

具有多个自由度（DOF）的线性系统可以通过类型的矩阵方程来表征

在哪里是质量矩阵，是阻尼矩阵，是刚度矩阵。DOF放置在行矢量中和力量。

然后由矩阵方程描述自由振动问题

构成复杂的特征值问题。正式地，可以通过查找特征值来解决

实际上，如果有多个DOF，则使用其他方法。特征值的数量通常与DOF的数量相同。严格来说，特征值的数量等于质量矩阵的等级。

对于每个特征值，都有一个相应的模式形状（也称为本本元）。当结构以一定的固有频率振动时，变形的形状是相应的本本元模板的形状。对于上面的两道系统，第一个本征模（对应于最低特征频率）由两个质量组成，这两个质量都朝着相同的方向移动。而在第二个本征模中，群众朝相反的方向移动。下面为未阻尼的两道系统提供了此信息，固有频率在哪里

和

相应的本征是

和

在这里，每个本本征的最大元素被任意选择为1。这两种模式在下面是动画。

_{第一个振动模式。内部质量和外部质量幅度之间的关系为0.618。}

_{第二振动模式。内部质量和外部质量幅度之间的关系为1/0.618，位移朝相反的方向。}

请注意，在未阻尼系统的自由振动期间，所有DOF将同时达到其各自的峰值。同样，它们将同时通过平衡位置。因此，第二本本本征中的振动可以写为

本征模的正交性

两个本征模，和，可以证明未阻尼结构具有以下正交性：

由于本征模的幅度是任意的，因此可以选择不同类型的归一化。一个常见的选择是使用质量矩阵缩放， 以便

在哪里是Kronecker三角洲。

有了这种缩放的选择，

在哪里是对应于模式的特征频率一世。

如果两个特征频率一致，则相应的模式不是自动正交的。但是，始终可以叠加本本本，以便获得两种正交模式，并且在实践中几乎总是这样做。

对于阻尼问题，本征码仅针对某些形式的阻尼矩阵具有相似的正交性。物理解释是，对于一般阻尼系统，本征码之间将存在一个交叉耦合，以便在振动期间在不同模式之间传递能量。保持正交性的阻尼矩阵的最简单形式是瑞利阻尼， 在这种情况下

在哪里和是两个阻尼参数。

瑞利阻尼没有直接的物理含义，并且仅仅是因为它在数学上方便。

参与因素

使用模态参与因素是一种表征某种模式会因沿特定方向的刚体加速度而激发多少特定模式的方法。参与因素，关于模式一世和激发方向j，定义为

这里，是一个在所有包含DOF的组件中具有值1的矢量j和0其他组件中的0。请注意，如果使用质量矩阵缩放，则分母具有值1。

也可以定义旋转加速的参与因子。在这种情况下，向量将具有更复杂的结构，其中元素取决于距旋转中心的距离。

模态质量

概念模态质量有时会引起混乱。模态质量的一个定义是内部产品

当使用质量矩阵缩放时，这意味着每种模式的模态质量为。标准化的其他选择给出了其他值，因此在这种意义上的模态质量实际上并没有物理含义。

这有效的模态质量是与模态参与因子有关的数量。模式的有效模量质量一世，方向激发j，由参与因子和模态质量定义为

有效模量沿特定方向的总和j对于所有本征模等于结构的总质量：

因此，有效的模态质量将具有物理解释。在方向上加速j，它显示了总惯性力的多少可归因于模式一世。它可以用来估计基于模式叠加的后续响应分析中需要多少模式才能进行良好表示。

复杂本征的解释

如上所述，对阻尼系统的特征频率将是复杂的，其中实际部分包含角频率，而假想部分则提供了有关模式阻尼的信息。

同样，本征本本身将是复杂的。对于阻尼结构，本本特征位移不再处于不同位置的相位，并且相位信息由复杂的位移携带。如果上面的二大示例是由一个阻尼器扩展的，特征法会更改为

和

阻尼比（如果很小）可以估计为特征频率的虚构和真实部分之间的比率，因此对于两种模式，它略高于0.2。阻尼的本征是

和

对于第一种模式，两个位移组件之间的相角差为17°，第二个模式为137°。在未阻尼的情况下，相应的值分别为0°和180°。在下面的动画中清楚地看到了缺乏同步性。

_{阻尼系统的第二本本征模。两个质量的位移不再处于相位。}

连续系统

连续系统（例如一般的固体，梁或板）将表现出取决于几何，材料特性和约束的特征频率。连续系统具有无限数量的本征频。就所有实际目的而言，只有有限数量的模式是感兴趣的。较高的模式不太可能在很大程度上被激发，并且通常具有更高的阻尼。

对于一般情况，本本特莫德是一个位移字段定义在整个身体上。在连续情况下，模式的正交性可以表示为

在哪里是质量密度。

在这里，已经选择了相对于密度（对应于离散情况下的质量矩阵缩放）的归一化，但这不是必需的。数学解释是，与以质量密度分布为重量函数定义的内部产品相对于特征模式是正交的。

下面，更详细地描述了常见结构类型的特征频率。

梁

对于长度的细长光束l，持续的弯曲刚度EI和每单位长度的质量，本特征可以写为

系数取决于支持条件和模式的数量。

支持
固定的（悬臂）
固定（仅支持）
固定固定
固定小费

电线

在电线中，像吉他弦一样，是抗僵硬的拉伸力。这就是为什么您可以通过转动钉子来调整吉他，从而改变字符串中的张力。电线的固有频率由表达式给出

在哪里t是拉伸力，l是长度，是单位长度的质量。

盘子

板的固有频率取决于板的弯曲刚度，d，以及单位区域的质量。对于各向同性弹性材料，弯曲刚度为

在哪里e是杨的模量，H是盘子的厚度，以及是泊松的比例。

本征频和本征量取决于板的几何形状以及边缘的支撑条件。特征频率是形式

例如，简单支撑的矩形板的本征频率具有侧面长度一种和b是

索引的地方m和n可以是任何积极的整数值。

膜

膜就像电线一样，与面内拉伸力成正比。由于拉伸力在各个方向上可能不相同（并且可能在膜上变化），因此很难编写一般的特征表达式，但是结构是

在哪里t是每单位厚度的平面力和是单位区域的质量。

对于半径的圆形膜r和均匀的径向拉伸力t，固有频率是

系数的一些第一个值在下表中给出。

	n = 0	n = 1	n = 2
M = 1	2.405	3.832	5.136
M = 2	5.520	7.016	8.417
M = 3	8.654	10.17	11.62

对称结构

表现出一个或多个对称性的结构将具有多个本征频。那么，相应的本征码将不是唯一的。例如，考虑先前讨论的圆形膜的第二和第三模式。这两种模式具有相同的特征频率，并且绘制的模式形状相对于彼此旋转90°。但是，旋转的任何方向也将提供有效的本本特征。通常，最好选择正交模式形状。

有时，与从有限元解获得的多个特征值相对应的模式形状不会具有直观的形状。考虑一个方板。在教科书中，模式可能会如下所示。

但是，有限元分析的结果可以是这些基本模式的任何线性组合。这在下面举例说明。

在分析对称结构时，仅使用对称性和模型仅一半或四分之一的结构。尽管这是可能的，但这种方法需要几个具有不同边界条件集的分析。例如，如果使用一个对称平面，则必须使用对称和反对称边界条件。

下面探索了对称条件在对称平面框架中的使用。可以使用两组边界条件来检索完整结构的所有本征模。

具有旋转对称性的结构将具有轴向对称性的某些本征元素，有些是不对称的。这意味着通常，在计算本征频率时，需要在完整的3D中分析轴向对称的结构。

模态应力

可以计算和可视化的不仅是本本征模的位移，还可以进行其他数量，例如应力或菌株。就像位移一样，实际值是任意的，但是应力分布可以深入了解某个模式的激发如何影响应力。当已知激发具有窄带频率含量时，这些信息可用于设计更改。

当结构振动时，较高的模式通常对应力贡献更多，而不是对位移。这是因为较高的模式具有更复杂的形状，因此对于特定峰位移而言，较大的应变。

重复结构

一些结构，例如粉丝，可以具有很大的重复性。如果我们仅模拟一个小扇形，并与幼稚的循环对称边界条件一起，我们获得了单个叶片的本征码。但是，这不是正确的方法，因为风扇叶片之间存在耦合。仍然可以对单个部门进行分析。边界条件必须基于浮雕理论。在这种边界条件下，引入了方位角模式编号。

然后可以为方位角模式数字生成该解决方案。这种方法具有计算优势。即使我们必须执行许多与扇区数量相匹配的分析，但计算工作与扇区的数量严格成正比。但是，小型单扇区模型和完整模型之间的CPU时间差异是更大的比例。

Floquet型边界条件也可以用于使用仅包含单位单元格的模型来计算大重复网格的本征频。

不受约束的结构

为了具有自然的振动模式和相应的本征频率，不必限制结构。例如，如果您观看标枪以慢动作投掷，您将清楚地看到标枪在其第一个弯曲模式下如何振动。有时被称为无约束的本征？免费模式。

对于不受约束的结构，许多本征频将具有0。零值的本征频对应于刚体的运动。对于完全免费的3D结构，将有六种刚性的体模式。解决这样的问题在某些配方中可能是有问题的。

压力僵硬

通常，结构中的拉伸应力将增加其固有频率。对于膜和电线，应力状态实际上是刚度的唯一提供者。对于其他情况，例如板，拉伸应力将为弯曲刚度提供额外的贡献。这种效果很重要的一种情况是对风扇叶片的分析，其中离心力通常会引起径向定向的拉伸应力，从而增加了固有频率。

同样，压缩应力将降低结构中的固有频率。

发布：2018年4月19日
最后修改：2018年5月8日