流体流量，传热和质量传输流体流量：节约动量，质量和能量Navier-Stokes方程

Navier-Stokes方程是什么？

Navier-Stokes方程控制流体的运动，可以看作是牛顿的第二种运动定律。在可压缩的牛顿液中，这会产生

在哪里你是流体速度，p是流体压力，ρ是流体密度，以及μ是流体动态粘度。不同的术语对应于惯性力（1），压力力（2），粘性力（3）和施加到流体（4）的外力。Navier-Stokes方程是由Navier，Poisson，Saint-Venant以及1827年至1845年之间的Stokes得出的。

这些方程始终与连续性方程式一起解决：

Navier-Stokes方程表示动量的保护，而连续性方程表示质量的保护。

它们如何应用于仿真和建模？

这些方程是流体流量建模的核心。解决它们的特定边界条件（例如入口，出口和墙壁），可以预测给定几何形状中的流体速度及其压力。由于它们的复杂性，这些方程仅接受有限数量的分析解决方案。例如，将这些方程求解在两个平行板之间或圆管中的流量之间的流动相对容易。但是，对于更复杂的几何形状，需要求解方程。

示例：层流经过后退

在下面的示例中，我们在数值上求解了Navier-Stokes方程（以下也称为“ NS方程”）和计算域中的质量保护方程。这些方程需要在一组边界条件下解决：

流体速度在入口处指定，并在出口处规定的压力。在墙壁上指定了无滑动边界条件（即设置为零的速度）。稳态NS的数值解（（1）中的时间依赖性衍生物设置为零），并且在层流方向和恒定边界条件中的连续性方程如下：

Navier-Stokes方程的不同风味

根据感兴趣的流程，通常可以简化这些方程。在其他情况下，可能需要其他方程式。在流体动力学领域，不同的流程度使用非二维数字进行分类，例如雷诺数和马赫数。

关于雷诺和马赫数

雷诺数号，re =ρul/μ，对应于惯性力（1）与粘性力（3）的比例。它衡量流动的湍流。雷诺的低流量为层流，而较高的雷诺数流则是动荡的。

马赫数，m =u/c，对应于流体速度的比率，你，达到那种流体中的声音，C。马赫数测量流量可压缩性。

在经过一个后端示例的流程中，RE = 100和M = 0.001，这意味着流量是层流且几乎不可压缩的。对于不可压缩的流，连续性方程产生：

由于速度的差异等于零，因此我们可以删除术语：

在不可压缩流的情况下，从NS方程中的粘性力项。

在下一节中，我们检查了一些特定的流程度。

雷诺数低/蠕变流量

当雷诺数的数字很小时（关于≪1），与粘性力（3）相比，惯性力（1）非常小，在求解NS方程时可以忽略它们。为了说明这种流动制度，我们将研究由Arturo Keller，Maria Auset和加利福尼亚大学圣塔芭芭拉分校的Sanya Sirivithayapakorn进行的孔隙尺度的流动实验。

关于实验

感兴趣的域覆盖640μmx320μm。水从几何形状从右向左移动。孔中的流量不会穿透固体部分（上图中的灰色区域）。入口和出口流体压力是已知的。由于宽度最多为0.1毫米，最大速度低于10^-4m/s，最大雷诺数小于0.01。由于没有外力（重力被忽略），因此力项（4）也等于零。

因此，NS方程还原为：

建模实验

下图显示了所得的速度轮廓和压力场（高度）。

该流量是由入口上的压力驱动的，而不是在出口上。这些结果表明了NS方程中压力（2）与粘性力（3）之间的平衡。沿着较薄的通道，粘性扩散的影响更大，这会导致较高的压降。

高雷诺数/湍流

在雷诺数很高的工程应用中，惯性力（1）大得多（3）。这种湍流问题本质上是短暂的。需要使用足以解决流量中最小涡流大小的网格。

使用NS方程运行此类模拟通常超出了当今大多数计算机和超级计算机的计算能力。相反，我们可以使用雷诺平均纳维尔 - 斯托克斯（RANS）Navier-Stokes方程的配方，该方程的及时速度和压力场平均。

然后可以在相对粗糙的网格上以固定的方式计算这些时间平均的方程三维流）。

雷诺平均的Navier-Stokes（RANS）的配方如下：

这里，你和p分别是时间平均的速度和压力。期限μT代表湍流粘度，即，小规模时间依赖性速度波动的影响，这些速度波动是由rans方程未求解的。

动荡的粘度，μT使用湍流模型评估。最常见的是K-ε湍流模型（许多爆炸模型之一）。该模型通常用于工业应用中，因为它既健壮又计算便宜。它包括求解两个其他方程式用于运输湍流动能k和动荡的耗散ϵ。

为了说明这种流动状态，让我们看一下比POR尺度流的几何形状中的流量：典型的臭氧纯化反应器。反应堆长约40米，看起来像是一个迷宫，有部分墙壁或挡板将空间分为室大小的隔间。基于入口速度和直径，在这种情况下，雷诺数分别对应于0.1 m/s和0.4米，雷诺数为400,000。该模型用于时间平均速度，你;压力，p;动荡的动能，k;和动荡的耗散，ϵ：

流动可压缩性

流量可压缩性通过马赫数来衡量。以前的所有示例都弱可压缩，这意味着马赫数低于0.3。

不可压缩的流程

当马赫数非常低时，可以假设流动不可压缩。对于液体来说，这通常是一个良好的近似值，它的压缩程度不及气体。在这种情况下，假定密度是恒定的，并且连续性方程式减少到∇取得0。爬行的流动示例显示出低速通过多孔介质流动的水是不可压缩流的一个很好的例子。

可压缩流

在某些情况下，流速度足够大，可以引入流体的密度和温度发生重大变化。这些变化可以忽略m<0.3。为了m>0.3但是，速度，压力和温度场之间的耦合变得如此强，以至于需要与能量方程（流体中的热传递方程）一起求解NS和连续性方程。能量方程可预测流体中的温度，这是计算其温度依赖性材料特性所需的。

可压缩流可以是层流或湍流。在下一个示例中，我们查看扩散器中的高速湍流（收敛和发散喷嘴）。

从进口的流动是亚音速的，但由于收缩和较低的出口压力，流动量加速并变成声音（M = 1），因此扩散器是跨性别者。

这三个图中的结果显示出很强的相似性，这证实了速度，压力和温度场之间的强耦合。超音速流（M> 1）的短区域后，正常冲击波将流动带回亚音速流。M. Sajben等人已经在许多实验和数值模拟中研究了该设置。al。[1-6]。

Navier-Stokes方程无法解决哪些流程度？

只要系统的代表性物理长度尺度比组成流体的分子的平均自由路径大得多，navier-stokes方程仅有效。在这种情况下，流体被称为连续。平均自由路径的比率，λ，代表长度尺度L，称为Knudsen数字，KN =λ/L

NS方程对kn<0.01。为了0.01<kn<0.1，这些方程仍然可以使用，但是它们需要特殊的边界条件。为了kn>0.1，它们无效。在1 atm的环境压力下（例如，空气分子的平均自由路径）为68纳米。因此，模型的特征长度应大于6.8μm，以使NS方程有效。

发布：2015年1月15日
最后修改：2017年2月22日