结构力学变形分析

固体力学中的分析

变形分析研究固体力问题的基础。

通常，人们通过体积的，和变形来建立固体力学方程。公式称为称为拉格朗日公式，它与流动等其他物理的的的欧拉公式完全不同，后者的原理空间的体积的和通量为中心。

在有限中中

1. 全拉格朗日公式的以体的原始基础基础

2. 更新的拉格朗日公式的以体的当前基础基础

这说，这说说个公式数学上的的的的，通过等的，通过通过一系列一系列一系列一系列合理的的的的转换转换方法方法，这方法方法方法，这这，这这这这这这两两公式公式可以实现实现实现不过不过不过不过个公式各具优势。

这基础是，假设是连续体连续体连续体连续体

坐标系和位移

我们使用坐标来材料的位置位置，可以位置位置位置位置视为在粒子的标签，贯穿于贯穿于粒子的变形历史。这称为称为称为称为材料坐标系。

经过一段时间后，该该移动到位置位置。为见，我们我们这组具有的原点方向。。坐标位于空间坐标系，这个空间固定，而固定固定则在固定。。

从体内点的位置指向其位置矢量矢量位位移矢量。由于自，此时变量变量一公式。。因此。

只要位表示运动运动，材料材料发生局部局部，称为，称为应变或伸长。这些包含小域的体积形状变化应变在材料中中内力（应力），甚至造成特性特性特性特性，必须必须材料考虑刚体运动等等因素情况情况描述描述变形变形。。可以通过通过多多种种方式来

变形梯度

变形梯度定义为

其中，，是等张量，展开展开矩阵形式

变形梯度材料局部和变形的信息。其中显示其他其他一些一些信息，例如，由于，未变形体中的段旋转拉伸拉伸，成为拉伸拉伸拉伸拉伸中的线段我们将张量看作个矩阵，第一第一提供最初沿沿X方向的方向等。从数学来看看，是从变换到的雅可矩阵，因此因此的行列式为局部比例。对于可压缩材料，。

极分解定理表明，任何二阶可以为纯对张量的的乘积，因此

这可以为先发生由由右伸长张量（描述），然后然后刚性（由矩阵矩阵矩阵（描述）。，如果，如果，右，右张量为，因此，因此，因此的解释与类似。

同样也将变形梯度为为

在此中，首先发生，然后，然后，转动的发生变形变形通过左伸长张量进行描述。

这两伸长通过纯进行关联；例如。事实上，此处矩阵转置也自身的（（）。

在实际中，极分解计算较高，因此，因此，人们人们，人们会尽量尽量避免避免执行执行此此类。。但在在在理论理论思考

我们可以并确定矩阵的情况下，计算与无关：计算无关的：

张量称为右柯西-格林格林张量。

这个常于超弹性材料特性特性，由于等等等由由由张量构成，因此用描述旋转旋转旋转之前的的的。

同样，，

张量称为左柯西-格林格林张量。

和都与，但但描述是个坐标系中的张量张量是描述坐标系中变形的材料张量，是描述坐标系中的的空间张量。

伸长率

从非正式说说，伸长率可定义长度原始长度比比比，

因此，在未状态，伸长率伸长率，伸长率1。

一般下，人们人们倾向于张量张量和的特征值。的三个（，和）称为主伸长率，（其其矢量坐标系中给出个正交。如果如果我们研究一个个个小（（仍保持相交边长变化主伸长率表示。

如此一来，体积变化写伸长率的：

张量的计算简便，它它主与与相同，但但为，和。，通常，通常而非来计算主。

（（（），。这解释了在实际，人们中，人们使用使用使用来描述这具有较大伸缩性材料对于金属类金属类，应变材料材料材料材料到之间。要伸长率来测量材料材料应变应变应变应变，0.99到1.01，甚至0.9999到1.0001范围范围范围的。。。

左柯西-格林格林张量也具有伸长率作为特征值由于由于描述刚体的伸长率，因此因此方向空间来确定。。

应变张量

要得到零变形测量值，需要需要从从中减去等，从而，从而得到格林-拉格朗日拉格朗日张量，定义为

该张量材料发生任何的的变形变形，但但未变形变形状态下的所有分量分量均为零零。。。其其为

其中假设重复指标求（（爱因斯坦求和约定）。

格林-拉格朗日拉格朗日张量的元素示例如下示例如下

非对角元素示例为

格林-拉格朗日拉格朗日的称为主应变应变应变应变应变应变应变应变材料材料坐标系系与与。。。。。

当应变转动都小时，格林很小时小时应变中的二项项可以忽略不计。。的众所周知众所周知工程应变张量，

其分量示例如下

和

该应变的对角项为为法向应变或正应变，用用每坐的的非对是的的的剪切分量（（（），所以（表示表示表示表示表示表示。

剪切应变产生等体积变形；不体积改变小应变应变应变，相对体积变化通过正：

改变视角

如果从着手分析分析分析，就分析分析出理论。这里不不作作详细详细详细详细讨论讨论讨论讨论讨论讨论讨论不不不，因此所有对坐标的。后具有长度长度，其线段线段线段线段上，后者后者通过来定位。

阿尔曼西应变张量定义为

其分量可为

请注意，这里是空间取导数。

真实应变

有时，我们我们使用真实应变这个在真实的单轴定义，应变中中中中为为

真实应变基于长度，因此因此积分得到得到得到得到

这就真实应变也称为对数应变的原因推广到三维称为称为赫奇应变张量，，

应变测度的比较

如果将初始为（（（（（））一定一定距离距离，可以得到不同轴向测量测量，如下结果，如下。。。

工程：：

伸长率：

格林-拉格朗日：：

阿尔曼西：：

真实：：

在，我们，所有，所有所有都都良好，其吻合良好良好良好良好良好超过，超过±10％，但超过但在应变大大时时时，二者二者纵轴有所。。

应变协调性

由于应变的构成，因此构成构成所有应变场。。位移矢量只有有有三三协调性标准，否则否则无法唯一的组位。应变必须必须：

由于应变对称性对称性，81个方程个方程只有有有个个非平凡方程示示示

应变的梯度和时间导数

与变形的还包括速度梯度，它梯度梯度梯度速度矢量

速度梯度为称部分和称称，分别称为部分部分称应变率张量和自旋张量：

速度梯度变形的时间导数存在一个重要：

通过使用结果结果，格林-拉格朗日拉格朗日的导数也用速度表示表示表示，

最后一等式基于张量的对称性。

变形分析：刚体转动转动

我们来一个刚体在xy平面转动某角度的：：

如果假设原点左下角，则则某个（X，，，，y）的新可以写原始（X，，，，y）的，即，即

由此到位移为

然后，我们可以变形定义定义，得到，得到

从而-得到-格林张量-格林张量

同理可，左柯西-格林张量-格林张量为。根据看出，格林看出看出应变张量和应变为零零此外此外此外，由于此外此外，由于由于由于此外零零零零由于由于由于由于由于所有主伸长率主伸长率主伸长率主伸长率的值都值都值都为为为为为为为为为为为为为为为为

但是，工程工程张量以下值以下值

对于小，采用采用数展开得到得到

看上去，上式误差小然而，即使。，即使很值值值值，已经小数值值意味着，使用应变将明显的误差，即使刚体误差，1°也

变形分析：大剪切剪切

一个按某个角度发生变形后，成为一平行四边，如，如示，其中示

从材料到空间坐标系（（（（（表示表示面方向方向）：

表达式表示，可以，可以以下位移场

进而得到变形梯度

我们立即可以得出，因此变形体积。这结果也上图我们的预期预期相符相符相符相符

右柯西-格林-伸长-拉格朗日-拉格朗日-拉格朗日应变张量分别为为为

和

我们可以-拉格朗日-拉格朗日应变的对角进行解释。沿沿沿X轴的未，而，而沿y轴的。但是，此此的长度能直接从张量张量提取。。

对于较小角度和，可以可以剪切工程：：

稍努力，我们我们可以出出的极分解通过设置，可以得到

和

其中。

主伸长率是的，通常，如下，如下如下示示

由于没有伸长，第二第二伸长率为。

右伸长张量的矢量主。本本例，这些中中中为表示表示表示

，和

为了进一步数研究此，我们此，我们剪切为为为，由由得得，以及。变形梯度变为

由于，可以通过方法旋转中得到部分部分部分。

主伸长率为

58.3°角。。。。。。。。。

在中中中中纯拉伸拉伸旋转。蓝色正方形的方向与与与与主伸长主伸长主伸长方向方向方向方向方向方向一致一致一致一致一致一致一致；；随后随后随后旋转旋转旋转旋转旋转旋转旋转旋转旋转了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了的拉伸中方向保持。。

发布：2018年4月19日
上次修改：2021年3月11日