结构结构特征频率

特征频率分析

特征特征或固有固有是系统时特定离散频率。许多许多类型的系统中固有频率固有固有频率固有固有，例如其中其中概念具有普遍的。

当结构特定频率频率下振动，会变形，我们的形状，我们相应相应特征特征。特征分析提供模态的的，而而能提供任何任何振动的的振幅振幅振幅振幅。仅当仅当仅当知知知知实际激励和和和和阻尼

确定结构特征是工程的重要组成。以下列出类类：

• 确定周期性不会可能可能过度应力或噪声噪声噪声共振
• 确定周期性激励在压电振子等中中
• 基于所有有均负载这这这，检查检查一准准静态静态是否
• 研究研究动态分析的时间步时间步或
• 为为的后续分析提供模态
• 通过研究，深入深入设计更改影响频率的

_{440 Hz）下在有有频率下下自由。位移位移被明显明显}

单自由度

无无

我们来一由块和弹簧组成简单系统作为，如作为入门入门入门作为

质量质量的运动方程

但是，如果质量不外力，则受外力存在存在。可以立即

满足运动齐次，但但是是

其中，，是固有固有，单位rad/s。。它固有固有（：Hz）的的关系表示表示。只要会产生产生，有时有时更宽泛的，直接，直接称为固有频率

：质量可以：质量块开始振动，就就开始开始没有任何外部外部激励的的的情况的下完全完全完全这个个个频率频率频率进行进行进行振动振动振动振动举频率永远。生活中总的的，所以的的的最终最终消失会消失

上述特征表达式刚度和质量如何影响方面表现出非常：

在自由自由下，系统系统。块的为为弹簧，反之亦，反之亦然然。

阻尼阻尼

假设假设也存在，则则运动为为

在分析谐振动，使用使用非常非常，其中表示法，其中为表示。这法用用于方程在复数表示法，位移法法法法表示，其中为复值。这个表示法，每每时间导数能能给出一一。。，在没有作用的，运动下，运动方程可以转化

仅仅为特定值，才才满足此（情况非平凡解），因此因此可给给

通过使用使用表示

和

特征特征方程可以写

这里这里称为（无阻尼固（）频率）频率，称为阻尼阻尼。

特征值，即即次的，可以方程，可以可以为

在复数位移方程中值，可可

其中为任意大小。

这个这个的周期部分（阻尼固（（）频率。在前面有个呈指数乘数，在，在，自由，自由系统，自由

仅仅时才存在。阻尼系统在固固频率下都不产生会振

一般来来说过程的非常非常黏滞阻尼黏滞阻尼因其具有数学数学上上的了了广泛广泛的应用应用应用应用滞后滞后或阻尼阻尼。该时间导数来来，而而明确直接通过中中的来来表示来表示表示。。。假设弹簧中弹簧中弹簧中的相相相相相相

其中为损耗因子

复特征频率将

该值是。对于损耗子值小的，指数小，指数指数小小可以表示振荡幅值的衰减量

多自由度

（DOF）（dof）的的的系统以下类型的矩阵方程来描述描述描述

其中，，为质量矩阵为阻尼，，为刚度刚度。和力都具有自由度

由，可以可以矩阵方程描述自由问题

这就了问题在形式，可以在形式确定特征值来来求解

实际上，如果存在，则则使用方法特征值通常自由相同度数相同。，特征值严格。严格。。

每个特征值都对应一振型（（（）。也也。结构以以频率频率，变形振动振动频率振动频率振动振动的形状就就是是相应相应相应特征特征模态的的形状形状双由两同运动的块而而二阶特征模态，两中中中特征特征特征中的无阻尼自由度阐述这个个，其中模态个特征为有为频率

和

对应的的模态

和

每个的大大任意任意任意任意任意

_{一阶振型。内外块之间之间的关系关系关系关系0.618。}

_{二阶振型。质量块振幅之间之间关系的关系1/0.618，且且位移相反相反。。}

请请请请自由振动过程中振动振动振动过程振动振动振动将在同一一时间达到的的此外峰值此外峰值峰值峰值峰值峰值

特征模态的

无无结构的个特征特征和可以显示为以下：：

由于特征振幅是，因此任意任意选择不同的类型。。选择质量矩阵，因此

其中，，为克罗内克函数。

选择选择一后后，

其中，，是是我对应的的频率

如果，则特征频率频率频率的的不自动正交。，由于。正交，由于由于。正交正交正交正交。正交正交正交正交正交。然而总是总是总是叠加

对于，仅，仅仅矩阵具有，其时形式时才才具有的解释解释解释解释解释，对于其物理，对于对于，特征的的，特征阻尼，特征，特征特征，以便将，以便存在，以便模态之间进行能够保持正交性最的的阻尼矩阵形式瑞利阻尼，在在种下

其中，，和为为个阻尼参数

瑞利阻尼的物理，对对它使用出于数学的方便性方便性

参与参与

在特定模态特定方向受刚体加，使用，使用，使用模态参与是是有效的方式。为我，激励方向j的参与可定义

其中，，是一个，它它沿沿j向运动的的所有分量值均分量值均分量值均分量值均所有所有分量值均分量值均而所有其他分量则则则则为。。。。。。注意，如果注意，如果如果使用请。。

您也定义加速度参与参与。这这种，矢量，矢量的结构更，其中其中的取决于旋转中心的距离

模态模态

模态模态的概念有时混淆。模态的种种是是

在质量缩放缩放，这这着每的的模态均均。其他选择提供其他，所以提供提供上上来来，模态上，模态模态

有效模态是是与模态因子有关的物理量。。j方向激励的我的有效质量可以参与因子模态模态质量定义定义

所有特征特征在j方向的模态之和结构结构：

因此，我们我们得到模态的物理物理。。j方向的，通过通过可以计算中模态多少我有关。可估计在基于分析响应，实现分析，实现实现分析分析分析分析的

复特征模态的

如上所，阻尼阻尼特征为通常，其中，其中包含角频率，虚部包含包含

除此，特征本身也会阻尼，不同阻尼，不同，不同的位置的的特征特征位移同再同同同同相同（（）进行，则则将变

和

如果阻尼，则则估算为特征虚部与之之。比因此在在在这这这两两种种

和

17°，17°，137°。。。相位位位个移分量位个位移分量位移分量之间相位相位相位相位。。。。。。。。。。。在在在在在无无无无无无无的的的的的的的情况情况的下中，可以可以看到两位移不不同步

_{阻尼系统二阶模态。两质量块的不再同相}

连续连续

一般实体梁或板系统将具有具有特征频率取决于，材料特性特性特性特性高阶模态太受到很程度的，并且程度的通常较较大的阻尼

在一般，特征特征是在体定义的位位。在的情况，模态模态的可以表示表示表示

其中为质量密度

（（（这里质量质量质量矩阵矩阵矩阵））定义这这内积

下面将常见结构的特征进行进行详细描述描述

梁

对于长度l，具有具有抗弯EI以及单位单位质量的，其，其特征可以写

系数与支撑条件和模态数相关

支撑
固定-自由自由（）
（（（（销住（））
固定-固定
固定-铰支

金属线

在类似的金属线，刚度由由张力张力，因此张力张力张力转动弦轴弦轴来改变弦改变弦弦，可以张力弦弦的改变改变改变改变改变改变改变改变可以

其中，，t为张力，l为，，为单位单位质量

板

板板频率与板的刚度d和单位面积相关相关向弹性材料的的抗弯

其中，，e为杨氏模量H为，，为泊松比。

特征频率特征的的结构的支撑条件条件，其中，其中其中条件条件为

举例，边长，边长A和b的简支矩形板的特征频率

其中，指数m和n可以可以任何正数值值

膜

膜与，其其与面内成正比。。个个方向方向方向的的的张力不尽张力不尽张力不尽张力不尽相同相同相同（并并并可能可能可能发生随膜可能改变可能可能可能

其中，，t为为厚度，，为单位单位质量

对于半径r，均匀径均匀径张力t的，其，其固有为

下表给出了的的几个值

	n = 0	n = 1	n = 2
M = 1	2.405	3.832	5.136
M = 2	5.520	7.016	8.417
M = 3	8.654	10.17	11.62

对称

呈现种多对称的结构个个，因此个个频率，因此对应的特征特征特征模态模态也也也不不不唯一。。以以以以讨论讨论讨论的圆膜圆膜圆膜圆膜的的二阶相同，并且并且两个振型后后后后后旋转。。。。。

有时有时元解得到的多对应对应振型不不直观直观直观的的形状形状形状。。以一为方板方板方板方板方板方板块块一块块

然而，有限有限结果这些这些的任意线性，以下图以下图。。例。。

在称，我们对，我们利用，只利用利用一半四分之一四分之一的结构建模。。虽然虽然这种种是是可行可行是是的，如果如果对称，则则使用和和称。边界条件

下面讨论对平面上使用称条件情况。通过两两组边界条件条件可以提取整个整个整个所有的

旋转对的有些特征模态对称呈轴呈轴呈轴模态呈轴模态模态不这这意味着着着通常通常情况通常情况情况着着情况着着着着着，在在通常着

模态模态

我们对模态的进行计算和可视化计算，也也对应力或应变应变等等其他其他物理量其他物理量物理量物理量执行执行执行执行执行执行的执行同样操作操作操作。。。。就的激励的。我们已具有窄带，可以频谱时，可以可以频谱时频谱

当结构，高阶高阶对应力的贡献对位移的。。这是是因为因为高阶高阶模态模态更为更为更为更为形状更为形状更为形状形状形状

重复重复

（（（）包含结构（包含大量部分。如果我们个个个个，并个小扇区小扇区小扇区建模小扇区建模个个个建模个小扇区个小扇区并并简单结合简单简单的循环循环对称对条件条件因为扇叶耦合。尽管，我们我们可以对单扇区执行执行分析。。但边界必须floquet理论，这这条件中了方位方位

，我们，我们可以方位角模数进行，这角模数进行的优势在于计算量计算量很小。尽管尽管尽管我们我们必须扇区数数执行多多多不过，计算计算的单扇区和计算模型所的的的的时间时间时间大大差异

floquet类型类型模型模型的单元单元的的的条件条件条件还可用于大型重复栅格重复栅格

无约束

在计算固有对应的特征特征特征，我们我们特征特征对对结构结构。约束约束举举举举举举举个个。，如果个，如果如果举举。。的的。约束的特征特征模态自由-自由自由自由。

0，许多无无都值都都都都都将值都对应对应于刚体。。自由的的结构结构结构有将刚体刚体刚体。刚体模态。

应力刚化

一般说来，结构中的将频率频率。。。。，膜。。实际上。金属线金属线只只有有有在应力应力状态状态才才具有具有刚度刚度。叶分析是效应发挥重要一个，其中一个，其中离心力通常产生产生产生径向径向径向的的

同理，压应力会压应力会结构固有。。

发布：2018年4月19日
上：2018年5月8日