物理定律偏微分方程建模建模GydF4y2Ba有限元法GydF4y2Ba

有限元法简介GydF4y2Ba

空间和相关问题物理定律通常用GydF4y2Ba偏微分方程GydF4y2Bapde（PDE）来来。对于的结构和来来来说说说，可能可能说说说说说说说说无法无法求出求出求出这些这些这些分方程方程的的不过不过不过不过GydF4y2Ba离散化GydF4y2Ba类型来近似方程，得出得出与偏微方程近似的的GydF4y2Ba数值模型方程GydF4y2Ba，并并求解如此，这些如此如此的解就是相应的偏微GydF4y2Ba有限元法GydF4y2Ba（fem））就就用来计算这些近似解。。。GydF4y2Ba

举例，某，某GydF4y2Ba你GydF4y2Ba可能是偏微中的因变量温度电势电势（（GydF4y2Ba你GydF4y2Ba近似为新函数GydF4y2Ba你GydF4y2Ba_HGydF4y2Ba：GydF4y2Ba

^{（1）GydF4y2Ba}

以及GydF4y2Ba

^{（2）GydF4y2Ba}

在，，GydF4y2BaψGydF4y2Ba_{一世GydF4y2Ba}代表，而，而GydF4y2Ba你GydF4y2Ba_{一世GydF4y2Ba}则代表用来对GydF4y2Ba你GydF4y2Ba进行近似的GydF4y2Ba你GydF4y2Ba_HGydF4y2Ba函数中。用一个一问题阐明这原理。。，GydF4y2Ba你GydF4y2Bax（x）x）x）处（（（温度。。此图中中中的的的线性线性线性线性线性基函数基函数的的的的的值值值值值值值值值值中中图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图GydF4y2Ba你GydF4y2Ba的定义域的GydF4y2BaXGydF4y2Ba- （（（（））共有七个。。GydF4y2Ba

（（（单元均匀地在GydF4y2BaXGydF4y2Ba- （（（（））。。情况。）GydF4y2Ba你GydF4y2Ba的一大区域中，也中中中的的单元单元，如下单元单元GydF4y2Ba

这两图表明，选定选定线性在在在GydF4y2BaXGydF4y2Ba- 轴获得（仅一个狭窄的的非零非零区区区非零和和重叠重叠非常非常有限有限。根据的的问题问题问题问题问题问题问题问题问题问题GydF4y2Ba

有限元法一优点是该理论成熟成熟了了，原因成熟了了了了在于在于偏微分方程方程问题的数值数值数值表述式表述式GydF4y2Ba见下面的部分GydF4y2Ba）。，当，当模型方程GydF4y2Ba在计算机上求解GydF4y2Ba时，该该误差估计误差误差GydF4y2Ba边界GydF4y2Ba估计方面较为有效的。GydF4y2Ba

可的历史，可可该是是是在在在在在在在在在在是是在方法方法方法方法方法方法方法德裔德裔德裔德裔德裔美国美国美国美国美国数学家数学家数学家数学家数学家数学家数学家数学家数学家数学家数学家才结构之外领域获得普遍应用应用，成就成就应用现在。的。。GydF4y2Ba

代数方程常微分，偏微方程和物理定律GydF4y2Ba

物理定律使用语言。例如例如例如例如例如例如例如例如（如能量守恒定律定律，质量守恒定律定律和动量动量动量等等等等等GydF4y2Ba偏微分方程GydF4y2BaPDE）来来。定律可以用变量包括温度，密度，，，电势电势其他其他其他GydF4y2Ba因变量GydF4y2Ba）的的关系来。。GydF4y2Ba

微分方程有的表达式，可以可以在在GydF4y2Ba自变量GydF4y2Ba（GydF4y2Bax，y，z，tGydF4y2Ba）发生发生因的小幅这这小幅变化也被称为因变量对应于于自导数导数导数导数GydF4y2Ba

假设一时变，但温度温度空间上的忽略不计。。这这这种种种情况情况下下下下下下下下下下这这这这这这在在在在。。GydF4y2BaGGydF4y2Ba的作用下GydF4y2Ba

^{（3）GydF4y2Ba}

在，，GydF4y2Ba表示，而，而GydF4y2BaCGydF4y2Ba_pGydF4y2Ba则代表热。温度GydF4y2BatGydF4y2Ba是，时间，时间GydF4y2BatGydF4y2Ba是自变量函数GydF4y2Ba可以描述温度时间而变化的个热源方程（GydF4y2Ba3GydF4y2Ba）表明，如果温度时间而，则而变化变化热源热源热源GydF4y2Ba所平衡或引起）。。此是一个自（（GydF4y2BatGydF4y2Ba）的的的一微分方程这种微分方程称为称为GydF4y2Ba常微分方程GydF4y2Ba（颂）。GydF4y2Ba

在某些，当当一时间温度温度GydF4y2BatGydF4y2Ba_0GydF4y2Ba为已知（称为GydF4y2Ba初始条件GydF4y2Ba（），即可方程（GydF4y2Ba3GydF4y2Ba）的一解析解，表达式：：GydF4y2Ba

^{（4）GydF4y2Ba}

如此，该该的温度一个个GydF4y2Ba代数方程GydF4y2Ba（GydF4y2Ba4GydF4y2Ba）来，其中，其中某个时间值GydF4y2BatGydF4y2Ba_1GydF4y2Ba就会一个对应温度值温度值GydF4y2BatGydF4y2Ba_1GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

属性常常和和发生例如例如，该例如例如例如中靠近热源处的的温度可能可能可能比其他位置位置略高高。这种温度差异进而进而引起情况下，根据守恒可以传热传热方程，该，该方程方程GydF4y2BaXGydF4y2Ba（），如：：GydF4y2Ba

^{（5）GydF4y2Ba}

同之前，，GydF4y2BatGydF4y2Ba是，而，而GydF4y2BaXGydF4y2Ba（GydF4y2BaXGydF4y2Ba=（（（GydF4y2Bax，y，zGydF4y2Ba）和GydF4y2BatGydF4y2Ba则是变量该固体的热通量矢量由GydF4y2Ba问GydF4y2Ba=（（（GydF4y2Ba问GydF4y2Ba_XGydF4y2Ba，，，，GydF4y2Ba_yGydF4y2Ba，问GydF4y2Ba_zGydF4y2Ba）表示，而GydF4y2Ba问GydF4y2Ba的GydF4y2Ba发散GydF4y2Ba则描述热通量空间坐标变化。笛卡尔坐标系，GydF4y2Ba问GydF4y2Ba的发散被：：GydF4y2Ba

^{（6）GydF4y2Ba}

因此，方程方程GydF4y2Ba5GydF4y2Ba）表明，在方向上有改变时，如果GydF4y2Ba问GydF4y2Ba（（（（））不不不为GydF4y2Ba

可以通过的本关系来描述个中的热通量，这热通量热通量热通量热通量GydF4y2Ba傅里叶定律GydF4y2Ba：GydF4y2Ba

^{（7）GydF4y2Ba}

在上述中，，GydF4y2BakGydF4y2Ba表示导热系数。（GydF4y2Ba7GydF4y2Ba）表明，在导热情况情况下下GydF4y2Ba7GydF4y2Ba）（（GydF4y2Ba5GydF4y2Ba）（））给出给出以下的方程：GydF4y2Ba

^{（8）GydF4y2Ba}

在，导数，导数以GydF4y2Bat、x、 yGydF4y2Ba和GydF4y2BazGydF4y2Ba表示的某微分方程是用用以上的的自自导数来表示表示的情况下下下下下下下下下下下的的的的的的的的的的的的该该该该该该该该该该微分微分微分微分微分微分方程方程方程方程方程就就就就被被称为偏微偏微偏微偏微偏微偏微偏微偏微偏微（（（））某个某个的。还的，常微分是是，常微分方程中GydF4y2BadGydF4y2Ba来的，而偏分方程中导数是用卷曲的的GydF4y2Ba∂GydF4y2Ba来表示的。GydF4y2Ba

除了方程（GydF4y2Ba8GydF4y2Ba），还还就某时间时间GydF4y2BatGydF4y2Ba_0GydF4y2Ba上的或者某个位置GydF4y2BaXGydF4y2Ba_0GydF4y2Ba上的。类知识应用于方程（GydF4y2Ba8GydF4y2Ba）的的边界。情况情况下下下下下下下情况情况无法通过解析方法来来求解（（（即得出不同时间时间的的的因因因。。。。。有时。。。。）可能困难，甚至几乎不的，例如的，例如GydF4y2Ba8GydF4y2Ba（）中：：GydF4y2Ba

^{（9）GydF4y2Ba}

在用法解偏方程前提下，另前提下下种方案方案就是的的GydF4y2Ba数值解GydF4y2Ba来求模型。有限元法正这类型类型方法方法方法方法方法方法方法方法方法方法方法种种求解求解偏偏微分GydF4y2Ba

类似于守恒守恒，可以守恒可以出动量守恒与质量的（（这这两个个个方程方程构成构成了了流体动力学学基础基础基础基础基础基础通量方程，从而从而分。。GydF4y2Ba

继续一，让让如何从分方程推导出的的的GydF4y2Ba弱形式公式GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

源自于弱的元：基函数基函数试函数试函数试函数试函数GydF4y2Ba

假定正在一个中的温度由（（（GydF4y2Ba8GydF4y2Ba）给，但，但处于状态，这状态GydF4y2Ba8GydF4y2Ba（）中中的导数为模型域模型域模型域ωGydF4y2Ba

^{（10）GydF4y2Ba}

此外，假定假定（（GydF4y2Ba∂GydF4y2BaωGydF4y2Ba_1GydF4y2Ba）的温度，同时垂直于其他（（（GydF4y2Ba∂GydF4y2BaωGydF4y2Ba_2GydF4y2Ba）的的已知。边界上，热通量上上上上上上GydF4y2Ba∂GydF4y2BaωGydF4y2Ba_3GydF4y2Ba（）上上这些边界的边界条件就GydF4y2Ba

^{（11）GydF4y2Ba}

^{（12）GydF4y2Ba}

^{（13）GydF4y2Ba}

其中，，GydF4y2BaHGydF4y2Ba表示传热，，GydF4y2BatGydF4y2Ba_ambGydF4y2Ba表示环境。表面向外的法向矢量由GydF4y2BanGydF4y2Ba表示。方程（GydF4y2Ba10GydF4y2Ba）至至GydF4y2Ba13GydF4y2Ba）描述描述散的模型模型，如模型模型。。。GydF4y2Ba

下一是将方程（GydF4y2Ba10GydF4y2Ba）的的都乘个个个GydF4y2Ba试函数φGydF4y2Ba，并并ω上：：GydF4y2Ba

^{（14）GydF4y2Ba}

试函数GydF4y2BaφGydF4y2Ba与方程的解GydF4y2BatGydF4y2Ba被假定属于GydF4y2BaHilbert Space）GydF4y2Ba。希尔伯特是一具有无限维度的GydF4y2Ba函数空间GydF4y2Ba，，并带有的。它它看作具有属性函数的集合集合；；；这样一来这样一来，这些；；；；这些这些这些函数可以可以同同向量空间中的中生成函数组合（函数有明确长度，称为，称为GydF4y2Ba模GydF4y2Ba），并且可以几德矢量测量函数的。。GydF4y2Ba

，可以实际上元地将将为的。。有限元法是一一种种系统性的方法方法方法方法方法方法方法方法方法方法将将将将将将无限最后再为用数值方法处理普通矢量在某一。。。。）GydF4y2Ba

如果要求（GydF4y2Ba14GydF4y2Ba）对对的试函数成立成立，而成立成立（（（GydF4y2Ba10GydF4y2Ba）对ω中都成立，则则弱。。。因此因此GydF4y2Ba10GydF4y2Ba）的的公式也称为称为GydF4y2Ba逐点公式GydF4y2Ba。在我们说的GydF4y2Ba伽辽金法GydF4y2Ba中，假设解GydF4y2BatGydF4y2Ba同测试属于的希尔伯特。这通常写为GydF4y2BaφϵhGydF4y2Ba和GydF4y2BatϵhGydF4y2Ba，其中GydF4y2BaHGydF4y2Ba表示希尔伯特使用格林第一恒式实质上是是进行积分），就就进行积分积分GydF4y2Ba14GydF4y2Ba）：GydF4y2Ba

^{（15）GydF4y2Ba}

通过要求等式对希尔伯特的的GydF4y2Ba所有GydF4y2Ba试函数成立，可以可以方程（GydF4y2Ba10GydF4y2Ba）的的形式或称为称为GydF4y2Ba变分公式GydF4y2Ba。之所以是“弱”，是是其放宽了（（GydF4y2Ba10GydF4y2Ba）的，也就分方程项每个点上上都必须必须被明确定义的的要求。。相反相反的的的GydF4y2Ba14GydF4y2Ba）和和GydF4y2Ba15GydF4y2Ba）是的。，弱弱允许解不不不连续，因为连续，因为因为连续连续连续连续种种情况情况并不不妨碍积分妨碍积分妨碍积分。。。GydF4y2Ba分布GydF4y2Ba则并不意义的函数。，在。因此因此连续点要求（（GydF4y2Ba10GydF4y2Ba）成立成立没有的。。GydF4y2Ba

有时可以分布进行积分，以以（（（GydF4y2Ba14GydF4y2Ba）被被可以的是，弱是是（（（GydF4y2Ba13GydF4y2Ba）得到得到条件（（GydF4y2Ba11GydF4y2Ba）都是逐点求出的解的。。。，对于此外，对于GydF4y2Ba可微分GydF4y2Ba（（（），这些二阶定义定义明确明确定义定义定义定义相同相同GydF4y2Ba10GydF4y2Ba）推导推导GydF4y2Ba15GydF4y2Ba）的的格林恒式式，而式式在在在GydF4y2BatGydF4y2Ba有连续二阶的情况下才。。GydF4y2Ba

是有限第一步公式化公式化公式化公式化，就就弱数学数学模型模型方程进行进行离散化，从而离散化离散化离散化离散化离散化离散化，从而离散化离散化方程模型模型模型模型模型模型模型模型———来进行。GydF4y2Ba

首先，要，就，就意味要空间空间空间GydF4y2BaHGydF4y2Ba的有限空间中寻找（（GydF4y2Ba15GydF4y2Ba（）的，近似解，GydF4y2Bat≈tGydF4y2Ba_HGydF4y2Ba。这说，近似解近似解表示一属于子的的GydF4y2Ba基函数GydF4y2BaψGydF4y2Ba_{一世GydF4y2Ba}的：：GydF4y2Ba

^{（16）GydF4y2Ba}

由，对，对个试函数GydF4y2BaψGydF4y2Ba_jGydF4y2Ba而，方程，方程GydF4y2Ba15GydF4y2Ba（）的的即：：GydF4y2Ba

^{（17）GydF4y2Ba}

这里的，就是函数GydF4y2BatGydF4y2Ba（（GydF4y2BaXGydF4y2Ba）的近似解中系数GydF4y2BatGydF4y2Ba_{一世GydF4y2Ba}。，方程，方程GydF4y2Ba17GydF4y2Ba）就了方程组，该该与数空间拥有的维度维度。试函数试函数试函数试函数试函数试函数GydF4y2BaψGydF4y2Ba_jGydF4y2Ba中的数字GydF4y2BanGydF4y2Ba，使GydF4y2BajGydF4y2Ba1一直一直到到GydF4y2BanGydF4y2Ba，那么那么根据（GydF4y2Ba17GydF4y2Ba）得到得到个数量为为GydF4y2BanGydF4y2Ba的方程组。（GydF4y2Ba16GydF4y2Ba）中也有GydF4y2BanGydF4y2Ba个未知的（GydF4y2BatGydF4y2Ba_{一世GydF4y2Ba}）。GydF4y2Ba

一旦被并施加了条件条件后，根据以下就就可以：GydF4y2Ba

^{（18）GydF4y2Ba}

其中，，GydF4y2BatGydF4y2Ba是，且，且GydF4y2BatGydF4y2Ba_HGydF4y2Ba= {GydF4y2BatGydF4y2Ba_1GydF4y2Ba，..，tGydF4y2Ba_{一世GydF4y2Ba}，…，tGydF4y2Ba_nGydF4y2Ba}；GydF4y2Ba一个GydF4y2Ba则是一nxn的矩阵，其其其元素GydF4y2Ba一个GydF4y2Ba_JIGydF4y2Ba中的每方程GydF4y2BajGydF4y2Ba都含有系数GydF4y2BatGydF4y2Ba_{一世GydF4y2Ba}。右边是从从从1到GydF4y2BanGydF4y2Ba的矢量。GydF4y2Ba一个GydF4y2Ba是GydF4y2Ba系统矩阵GydF4y2Ba（（（通常（））的GydF4y2Ba刚度矩阵GydF4y2Ba————这有限方法次应用，也次应用在结构力学。。。GydF4y2Ba

如果源函数是的，或者，或者温度，那么温度温度GydF4y2BabGydF4y2Ba就成为了系数GydF4y2BatGydF4y2Ba_{一世GydF4y2Ba}的一个函数。GydF4y2Ba

有限元优点是它能够选择选择和。在非常小的的几几何何区域区域区域区域的的的，是支集之上之上之上之上之上区域区域区域区域区域区域区域区域GydF4y2Ba17GydF4y2Ba）在在处零零零零零零零是在函数GydF4y2BaψGydF4y2Ba_jGydF4y2Ba和GydF4y2BaψGydF4y2Ba_{一世GydF4y2Ba}重叠的区域上，因为因为所有积分都包括函数函数函数GydF4y2Ba一世GydF4y2Ba和GydF4y2BajGydF4y2Ba（（（）的它们它们的。很用描述试函数试函数基函数基函数基函数的GydF4y2Ba

假设有二维几何，并且域，并且了了了GydF4y2BaXGydF4y2Ba和GydF4y2BayGydF4y2Ba的函数，每每函数点点GydF4y2Ba一世GydF4y2Ba上的为为1，但但其他点点GydF4y2BakGydF4y2Ba上值零下步使用三角形这维域进行离散化，并离散化离散化离散化离散化GydF4y2Ba一世GydF4y2Ba和GydF4y2BajGydF4y2Ba（给出试函数形函数形函数）。GydF4y2Ba

两个基函数基函数享享个。。因此因此因此因此，两两因此因此因此因此基函数之间之间之间有有有一些一些一些重重重，如上，如上所GydF4y2Bai = jGydF4y2Ba，则则完全。这些贡献了矢量矢量GydF4y2BatGydF4y2Ba的系数，这一知矢量系统矩阵分量分量分量GydF4y2Ba一个GydF4y2Ba_JJGydF4y2Ba相对应。GydF4y2Ba

，假设现在个基函数进一步地了。这函数不不不不不不个享享享享单元元单单单单单但但但但它们一一一个个个个个GydF4y2Ba

当这个重叠时，方程方程（（GydF4y2Ba17GydF4y2Ba）具有，且，且系统的是的当没有重叠，积分为，积分为，因此零，因此因此对对对系统系统系统矩阵GydF4y2Ba

这意味着，在在从1到GydF4y2BanGydF4y2Ba的，对，对（GydF4y2Ba17GydF4y2Ba）的的个方程来说来说来说来说，共享从享享同一个的相邻节点中得到得到若干若干个个非零非零GydF4y2Ba18GydF4y2Ba）中中矩阵矩阵GydF4y2Ba一个GydF4y2Ba变得，而，而重叠GydF4y2BaIJGydF4y2Ba：GydF4y2BasGydF4y2Ba的矩阵有项。一一数的可以作为作为该偏偏微分微分方程的近似解近似解近似解。网格越越越越越越稠密稠密GydF4y2Ba

（（（（问题问题））GydF4y2Ba

（（（（（））的的的的进一步该散热器中的热能GydF4y2BaψGydF4y2Ba_jGydF4y2Ba的离散弱公式化：：GydF4y2Ba

^{（19）GydF4y2Ba}

在，系数，系数GydF4y2BatGydF4y2Ba_{一世GydF4y2Ba}是变函数，而基函数试函数仅坐标再再者者GydF4y2Ba

一种对也有限有限法，但元法做法可能会耗费耗费大量的计算资源。经常经常采取采取的的另另GydF4y2Ba直线法GydF4y2Ba来对独立离散化。比如使用差分法其最简单简单的形式可以用下面下面的差分差分：GydF4y2Ba

^{（20）GydF4y2Ba}

给出的是（GydF4y2Ba19GydF4y2Ba）中中可能有限分逼近。当系数系数系数GydF4y2BatGydF4y2Ba_它GydF4y2Ba以GydF4y2Bat +ΔTGydF4y2Ba的形式时时GydF4y2Ba

^{（21）GydF4y2Ba}

面对，在时时时一个时间上求一个个线性方程组方程组方程组。。如果是问题问题问题问题问题问题问题问题问题GydF4y2Bat +ΔTGydF4y2Ba处的是被方程（GydF4y2Ba21GydF4y2Ba）隐含地，所以这种推进称为称为称为GydF4y2Ba隐式法GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

第二个公式基于GydF4y2BatGydF4y2Ba处：：GydF4y2Ba

^{（22）GydF4y2Ba}

该式，一旦在某给时间的（（GydF4y2BatGydF4y2Ba_它GydF4y2Ba）已，那么，那么（GydF4y2Ba22GydF4y2Ba）就就地给在在GydF4y2BatGydF4y2Ba+GydF4y2BaΔTGydF4y2Ba（（GydF4y2BatGydF4y2Ba_{i，t+ΔtGydF4y2Ba}）处的之，对于对于一时间推进方案方案（（），显式说所的的的所所的的的的的的的的的的强调需要需要非常非常非常短的的时间时间步长。。隐式隐式方案方案方案允许允许允许允许更GydF4y2Ba22GydF4y2Ba）这样这样所的计算（在每个个步长上都要要对对这些。。。。）GydF4y2Ba

在中，现代化的步进算根据问题自动显式和隐式隐式步进法之间之间切换切换。。GydF4y2Ba20GydF4y2Ba）中的替换多项式多项式多项式，其个多项式多项式个变化变化变化变化变化变化控制多的阶次以及。。GydF4y2Ba

下面有例子例子GydF4y2Ba

• BDF）法GydF4y2Ba
• 广义α法GydF4y2Ba
• 不同runge-kutta法GydF4y2Ba

不同的单元GydF4y2Ba

如上述述述采用与基函数基函数然而然而然而然而然而然而然而然而然而然而然而然而然而然而然而然而这方法方法方法方法种种也也可以（（（（（））。中。。我们回顾最常用的几。GydF4y2Ba

对于二线性函数，最最的如下图所。。。GydF4y2Ba此图GydF4y2Ba和GydF4y2Ba上图GydF4y2Ba给出的基函数被定义中中中中中中中中中的（（GydF4y2BaXGydF4y2Ba和GydF4y2BayGydF4y2Ba；：：GydF4y2BaX YGydF4y2Ba和GydF4y2BazGydF4y2Ba）的函数。GydF4y2Ba

在上上二维面二维面被于于于它们它们用于计算计算流体流体动力动力动力学学学学学学学学和和和传热建模中的边界边界，后者后者应用于力学和边界网格剖分在六面体边界层层单元到到到四面单元的过渡过渡过渡过渡过渡过渡过渡过渡过渡过渡GydF4y2Ba

（（（））。（二二二二二二二在此此请，也也所有边和定义是的。。拉格朗日拉格朗日单元和和巧凑边点是二二维和维和三维建模三维建模三维建模中中最（（（），而白色灰色灰色灰色GydF4y2Ba

博客“”GydF4y2Ba在多模型中追踪阶次阶次GydF4y2Ba“”（“中阶二次次），非常的二维图形，非常的二维图形二维图形二维图形在上述上述单元单元的的的的内部，很很内部内部单元上述上述上述上述上述上述上述上述上述上述上述上述上述上述上述上述上述来表示表面的函数。。GydF4y2Ba

讨论时时于特定有限元方法。GydF4y2Ba

有限给出是模型方程的一近似解。数值的解与与数学数学模型模型方程的的精确精确精确解解之间之间的的的差值：GydF4y2Bau -uGydF4y2Ba_HGydF4y2Ba。GydF4y2Ba

在许多，可以可以得出方程解就估计出的（即即GydF4y2Ba先验GydF4y2Ba（误差估计）。GydF4y2Ba先验GydF4y2Ba估计通常于所用有限元阶数阶数例如例如，如果例如例如例如例如例如。。。。。。。。个个问题问题问题问题适定适定适定适定适定适定适定适定的GydF4y2BaoGydF4y2Ba（（GydF4y2BaHGydF4y2Ba^αGydF4y2Ba）（α表示），随着随着的尺寸尺寸尺寸尺寸GydF4y2BaHGydF4y2Ba的小，误差的会减可，随着，随着密度，误差的，误差GydF4y2Ba

不过，只只的问题能进行进行GydF4y2Ba先验GydF4y2Ba估计此外，估计出往往会未知未知未知，从而，从而常数常数常数GydF4y2Ba后验GydF4y2Ba估计使用是近似解，并结合相关其他其他其他，以，以估计近似GydF4y2Ba

构造解方法GydF4y2Ba

一个简单却通用的误差估计方法（数值方法和偏微偏微问题）GydF4y2Ba这一篇文章GydF4y2Ba所所所的解析成为改动问题的真实解。种方法方法的的优点优点是未未对数值方法方法或或其其背后的的数学问题问题进行可以很计算误差大小。选择选择分析分析，就分析分析分析分析分析GydF4y2Ba

让个个，对对对这一进行说明假设一一种种数值方法方法方法可以可以可以对单位单位（（（（（GydF4y2Ba

^{（23）GydF4y2Ba}

^{（24）GydF4y2Ba}

此方法用于改动后的问题求解求解GydF4y2Ba

^{（25）GydF4y2Ba}

^{（26）GydF4y2Ba}

其中，，GydF4y2Ba

^{（27）GydF4y2Ba}

这里，，GydF4y2Ba

是可以选择的个解析表达式另外，如果，如果GydF4y2Ba

^{（28）GydF4y2Ba}

则GydF4y2Ba是改动的精确解精确解，此时此时直接计算出：GydF4y2Ba

^{（29）GydF4y2Ba}

如此，就就不同选择离散化和和GydF4y2Ba计算误差如果后问题的解未改动问题的的特性，那么特性特性特性特性特性特性特性特性特性特性特性特性特性特性特性特性特性特性特性那么那么那么那么改动后问题问题问题问题问题的的的- 这情况种种种种此方法的缺点种方法的在于在于它它的：既既：既既既可以用于用于非线性问题和时时时变问题问题问题问题问题问题问题问题问题问题问题问题问题问题问题问题问题问题问题）数值方法。GydF4y2Ba

目标定向的估计GydF4y2Ba

（（），并中（（（（（泛函数泛函数泛函数泛函数泛函数泛函数泛函数或或（（（（（其其作为作为一一一个个重点物理量来误差误差误差误差估计估计估计估计估计估计估计估计估计估计估计估计估计估计依赖于偏微分方程的的GydF4y2Ba后验GydF4y2Ba计算，以及以及的的GydF4y2Ba对偶问题GydF4y2Ba进行的求解对偶问题与选择的函数直接的（（并。。。。）GydF4y2Ba

种的其依赖于依赖于依赖于对偶对偶问题问题计算计算计算计算计算计算计算精确精确给出了所选函数选函数的的估计（没有没有涉及涉及）（（（（））。GydF4y2Ba

网格收敛GydF4y2Ba

收敛的的方法真实解的。粗化的网格方案所出的的的误差误差，可以可以误差：GydF4y2Ba

^{（30）GydF4y2Ba}

实践中中中中精细网格网格剖分比精细精细得得得得得得得得）目。个网格细化来说来说，也也从所得解的情况中中估算估算出出出收敛性收敛性收敛性收敛性。。如果如果如果近似解位于解位于一的之中之中之中之中之中之中细化而如此，所得所得近似解就越来越接近于。。GydF4y2Ba

下图了椭圆形膜的结构力学得益于得益于对称性对称性，只对称性对称性对称性对称性对称性对称性对称性对称性对对该该该该膜膜膜膜膜的的的四分之一部分部分部分进行进行进行计算就就可以可以可以可以了了了GydF4y2BaXGydF4y2Ba和GydF4y2BayGydF4y2Ba轴的被认为是。。GydF4y2Ba

对GydF4y2Ba不同网格类型单元尺寸GydF4y2Ba的数值求解例如，下图例如例如了于二次基函数GydF4y2Ba上图GydF4y2Ba得出的。GydF4y2Ba

根据更早的GydF4y2Ba这幅图GydF4y2Ba，对该的和进行计算下面的显示的是此此的的的GydF4y2BaσGydF4y2Ba_XGydF4y2Ba所得的值为零，因此因此零的任何都都是一一种种误差。。为了为了得到得到一一个个相对相对相对相对误差误差GydF4y2BaσGydF4y2Ba_XGydF4y2Ba除以计算的GydF4y2BaσGydF4y2Ba_yGydF4y2Ba，以便为误差估计正确的。。。GydF4y2Ba

上图表明，随着随着的单元（GydF4y2BaHGydF4y2Ba）的，相对减减相应减小下下下下下下下下下下下下下下下下下下情况次次阶次阶次阶次阶次阶次阶次阶次）随着，随着，随着升高，数值升高，数值中的知项知项的的数量也也也也会会增加增加。这意味意味意味着付出代价，这代价就计算耗增加。更更高阶的的单元单元GydF4y2Ba

网格自适应GydF4y2Ba

在计算了这些数值解解GydF4y2Ba你GydF4y2Ba_HGydF4y2Ba之后，就就用GydF4y2Ba后验GydF4y2Ba局部误差创建个更网格网格，该网格网格网格具有较较大的GydF4y2Ba细化的网格GydF4y2Ba来计算第二个近似解。GydF4y2Ba

描述了加热的圆柱体在受到稳态流动作用作用温度场。。对对这这：（（（（（））。估计所所所所所。。细化网格在温度和和热通量方面方面方面的的更高高高高高高高高GydF4y2Ba

（（（）的变变的问题说，也说说说前序时步的解来解来解来实现对对流流网格网格网格的细化。在在下图下图的例子中中墨水液滴与的。。界面是是相场的的值面所给出给出的的的的的的的的的的的的的，0.5。。给出给出所值面值面值面值面值面值面值面值面值面值面值面值面值面值面值面值面值面值面值面值面值面值面值面值面值面值面值面值面值面此相场函数周围，我们的周围使用估计来自动细化的的工作，而的工作，而而的，而流场用来用来用来用来用来对对对对流网格流网格流网格细化流网格使用更细网格。GydF4y2Ba

其他有限元公式GydF4y2Ba

在中，我们为和试函数使用的函数集来实现模型模型方程方程的的离散化离散化。如果一个个有限有限有限有限元元公式公式公式可以GydF4y2BaPetrov-Galerkin法GydF4y2Ba。这一常用方法；，在例如，在在解决例如GydF4y2Ba对流-扩散GydF4y2Ba问题过程，只只流线方向稳定化。其也称为称为GydF4y2Ba流线 /petrov-galerkin（SUPG）法GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

在耦合过程，不同不同的变量会用到的的基函数。一个GydF4y2Ba纳维-斯托克斯斯托克斯GydF4y2Ba，其中的往往速度更平滑更进行在某某类类方法方法中中中中中中中中中一一个个耦合耦合方程组方程组中不同不同的的因因因（基函数基函数基函数基函数基函数基函数便称为GydF4y2Ba混合有限元法GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

发布：2016年3月15日GydF4y2Ba
上：2017年2 21日21日GydF4y2Ba