结构结构变形变形

固体力学中中变形

变形变形研究所有力学问题的基础基础

通常，人们人们一定材料平移旋转变形过程来建立固体方程方程这个这个称为拉格朗日拉格朗日，它它流体等许多物理常用常用欧拉欧拉完全完全，后者的原理空间的控制的和通量通量。中心

在有限元中，通常通常拉格朗日的两种：

1. 全拉格朗日公式公式以体的原始构型基础

2. 更新的公式公式以体的当前构型基础

从意义，这意义说个个在数学价价价，通过是价的，通过通过一系列等等价价的一系列一系列合理合理合理的转换的，这转换转换，这方法，这这转换，这这这这这两两公式个可以可以可以实现实现相互相互相互相互相互个公式则各具优势

这的，假设，假设连续体，其作为，其可以，其远远大于，使分子，使，使材料，但均，但均均质属性

坐标系和

我们我们坐标来材料的原始原始，可以可以原始原始视为黏个上的，贯穿于贯穿于粒子的整个历史。这种种坐标系坐标系材料坐标。

经过一段后，该该会到位置位置。为起，我们我们两组具有相同和。方向坐标坐标空间坐标，这这空间中，而中坐标系在体上体上固定

从体内个的原始位置其新的矢量称为位。由于是，此时自自得到。。。。因此。，通过通过。。

只要位表示刚体，材料材料就，称为，称为，称为应变或伸长。这些可能小域的体积或变化应变会在材料中产生产生应力），甚至可能失效材料描述材料，必须必须不考虑刚体刚体等等因素情况下下描述描述变形。。。可以可以通过通过多多多种

变形变形

变形变形定义定义

其中，，是等同，展开展开矩阵形式

变形梯度有关局部和变形的完整信息。还显示其他其他一些一些，例如，由于，由于，未未中的段旋转并并，成为成为并并中中线段。我们张量看作一个，第一第一列线段最初最初最初X方向方向和等信息。从角度来，，是是变换变换的雅可比，因此因此的行列式为局部比例因子对于不可压缩压缩，。

极分解表明，任何任何都分解纯转动称张量的的，因此

这这为先发生变形由右伸长（描述），然后然后进行旋转（旋转旋转旋转（描述）。，如果，如果没有，右，右则，因此，因此，因此的解释类似。

同样同样可以将梯度分解分解

在此过程，首先发生，然后，然后，转动的发生发生。变形变形左伸长左伸长进行描述。

这这伸长张量纯转动进行关联；；。。，此此矩阵的也其自身的的）。

在实际操作，极分解计算往往往往，因此，因此，人们人们，人们人们尽量避免避免避免执行执行此计算计算计算。但但在理论理论

我们可以不确定旋转矩阵情况情况情况情况的情况的情况：

张量称为右柯西-格林格林变形。

这个张量用描述弹性材料的等等，由于由于等仅它仅仅张量，因此因此描述材料在旋转之前的的的变形

同样，，

张量称为左柯西-格林格林变形。

和都与，但但描述是个不同坐标系的张量。是描述材料坐标系中变形材料材料，是是空间坐标中变形变形空间空间。

伸长率

从非正式上上，伸长率伸长率定义为长度长度长度之之，

因此，在未状态状态，伸长率伸长率伸长率为为伸长率

一般情况，人们人们更使用张量和的特征值。的三三特征值，和）称为主伸长率，（其其矢量材料中中三个方向。。如果研究一一个个个立方体立方体立方体（立方体）仍仍相交。变化由主伸长率表示表示

如此一来，体积体积可以伸长率伸长率：

张量的计算更为，它它主主方向相同，但但特征值，和。，通常，通常而而来计算计算伸长率

（（（（），。这事实了为什么在，人们实际，人们主要使用使用来描述这具有具有较伸缩性材料。对于金属类，应变金属类金属类金属类金属类对于到之间。要使用来测量测量材料，则则则测量来测量，0.99到1.01，甚至0.9999到1.0001范围范围范围范围来来变形

左柯西-格林格林变形也也伸长率作为特征值。由于描述刚体之后的，因此因此方向根据方向来确定确定

应变应变

要要零变形变形，需要需要需要需要中减去中减去，从而，从而从而格林-拉格朗日拉格朗日应变，定义定义

该张量材料在发生产生产生产生产生，但但在未变形状态状态的的所有分量均均为零。。其

其中其中对重复求和和爱因斯坦求和）。

格林-拉格朗日拉格朗日张量对角对角元素示例如下

非非元素的示例

格林-拉格朗日拉格朗日的特征值称为主为主为主为主为主为主为主为主为主材料材料材料材料坐标与与。主伸长率相同

当应变刚体幅度很很很很都很很都应变张量的二二项可以可以忽略不计。。由工程应变，

其分量示例

和

该该张量的角项称称法向或正正，用用沿坐标轴延伸。对角项应变张量的的的的（（（），所以角度以以弧度以以以。

剪切应变等等变形；变形引起体积应变应变应变对于，相对相对体积通过通过：

改变改变

如果我们形状分析着手着手，就就发展出的理论这里不不不不作作作详细不不，但详细不不不不不不不这里，因此因此均空间的的。后具有长度，其的长度长度的上，后者后者可以来定位。

阿尔曼西应变定义定义

其分量分量写

请注意，这里这里空间坐标取。

真实真实

有时，我们我们会真实真实这个。真实应变单轴定义，应变单轴定义单轴单轴增量为

真实应变定义长度，因此因此在积分得到可以

这就是真实应变也对数的的。推广三维就就赫奇应变张量，，

应变测度的

如果将将长度的的（或）一定一定的的的，可以可以个的应变，如下测量结果应变应变测量。

工程：：

伸长率：

格林-拉格朗日：：

阿尔曼西：：

真实：：

在下图，我们看到，所有所有的都吻合吻合吻合吻合吻合吻合吻合都都都吻合超过超过超过超过±10％，但超过超过在应变较，差异大较大，二者二者在方向不同不同

应变应变

由于应变的导数，因此的导数因此应变场均。位移矢量只只有有三三，这个，这这，除非意味协调性协调性，否则否则积分给出唯一一位。工程应变必须：

由于应变张量的，81个方程个方程中只中只个个是平凡方程示如下

应变的速度梯度和时间

与变形相关量包括速度，它包括包括速度速度速度矢量，

速度梯度分解对称和反对反对，分别分别称反对反对应变率应变率和自旋：

速度梯度与的时间之间存在一个重要的：

通过使用一一，格林-拉格朗日拉格朗日的时间也可以速度速度梯度梯度，

最后最后个基于应变张量的对称性

变形：刚体刚体刚体刚体

我们来看一个刚体xy平面转动转动个的：：

如果如果坐标系位于左下，则则某（X，，，，y）的的可以写为原始（X，，，，y）的，即，即

由此得到位移

然后，我们我们根据的定义，得到，得到

从而-得到-格林张量-格林张量

同理可，左柯西-格林张量-格林张量为。根据，格林可以可以看出拉格朗日应变张量阿尔曼西应变为零零。，由于此外。此外零。，由于由于零零零零为为为为为为为为均为为为为均均为为均均均为均看出均均均均均为为为

但是，工程工程张量包含以下值

对于小，采用采用数展开可以得到

看看，上式误差小。，即使小，即使是数值数，已经小的，已经已经的的，已经已经预示着较较较较较大的的在金属在金属金属意味着，使用应变张量明显明显明显，即使即使的明显，1°也

变形：大大大大

一个正方形按某个发生剪切变形，成为一平行四边，如，如所，其中所，其中

从材料坐标系空间坐标系（（（（（表示表示表示面）：

表达式表示，可以，可以给出移场

进而得到变形

我们立即可以，因此因此体积变。一结果也中我们的，因为的预期，因为因为预期的的因为因为因为原始正方形正方形正方形在在变形变形变形为为为为

右柯西-格林-格林-拉格朗日-拉格朗日-拉格朗日拉格朗日应变分别分别分别

和

我们-拉格朗日-拉格朗日拉格朗日张量的对角元素解释。。最初X轴轴纤维，而，而而y轴的拉伸但是，此此的新不直接从应变张量提取提取提取

对于较较的和，可以可以纯的：：

稍作，我们我们就计算出的的分解。通过，可以可以

和

其中。

主伸长率主伸长率的，通常，如下，如下，如下如下

由于没有面外，第二第二伸长率为。

右伸长的特征为伸长轴在本例，这些本本中表示可以表示

，和

为了进一步数角度研究，我们研究此研究此剪切角度为，由由可，以及。。梯度则变

由于，可以可以数值旋转矩阵得到转动转动。

主伸长率主伸长率

58.3°角角角角角角角角角

在下图下图下图分解为纯拉伸纯旋转。蓝色方向方向方向与与主伸长主伸长与主伸长主伸长主伸长方向方向方向一致方向方向方向方向一致一致；一致；；随后随后旋转旋转随后随后随后随后随后随后随后随后随后旋转旋转随后随后随后随后随后旋转旋转旋转旋转主伸长了旋转旋转旋转旋转旋转旋转旋转旋转随后随后的的中方向保持不。

发布：2018年4月19日
上：2021年3月11日