结构结构模态叠加

什么是模态叠加

在对线性结构响应，使用，使用模态叠加这一的大幅缩短计算利用种种，结构种，结构结构结构动态动态响应可以可以通过其其少量特征模态模态模态模态

当有限，模态有限组成有限叠加最体现优势频率频率频率频率频率频率技术来求解

推导模态

假设假设运动方程用矩阵形式为

其中，，为质量，，为阻尼，，为刚度刚度。和力（DOF）。。具有自由度。

通常，使用使用元法物理问题离散化得到矩阵形式形式n表示，则，则矩阵为nXn。

这里实对，刚度实对实对称矩阵矩阵正定。这常见的的的，但最常见，但但在非对对称称矩阵矩阵矩阵情况情况下下可以可以可以模态叠加。在对称，相关，但复杂，但但是是。一样

模态叠加的是特征频率对应振型。常常可以使用以下特征值方程对对无无阻尼阻尼种执行

一般情况，只只需少量的n个个。计算是一组固有有，对应对应振型，其中，，我的的取值范围1到n。结果，特征特征质量矩阵和都正交性（或者或者特征值重复重复重复情况的情况的的情况情况下，可以可以情况情况下的的情况。

以及

将将模态放在nXn矩阵中非常，其中其中一都包含个模态正交关系可以概括概括

对角元素，其称为值选定选定特征仅仅仅表示，并且，并且并且，因此没有物理物理且方便方便选择质量矩阵。，可以，可以模态，使，使，从而从而

刚度矩阵对应的正交关系

如果使用质量，则则角角角由由角频率的平方组成

模态叠加的基本位移可以写特征模态模态：

其中，，为模态幅值

如果的特征，则特征，则，而，而非确切关系近似近似近似关系关系。由于由于特征特征特征特征模态模态模态的的的，因此幅值的变化当使用少量特征特征特征特征特征模态特征可以是是在在所选特征特征模态张成张成张成的子

模态模态可以用矩阵形式为

其中，已已在中收集收集自由度

在运动方程模态，得到，得到

左左后：：

此时可以利用正交关系

原方程组现已n个变量简化n个，右右称为模态。这个小的减少大大，但大大减少减少计算量计算量还还有另和是对角，因此因此有有项提供耦合。，我们。。假设矩阵对对，从而矩阵，从而从而对对

，值得，在，在现实生活，阻尼生活生活中中不同不同之间往往往往存在一些一些串扰串扰。强强强阻尼阻尼

阻尼阻尼

可以在中解耦的的：：

• 模态模态
• 瑞利阻尼
• 柯西级柯西级
• 集集

模态模态

直接直接每个提供阻尼阻尼是一常见选择模态阻尼提供了控制。如果如果由于物理物理原因原因模态模态，则为模态为模态为为

瑞利阻尼

在瑞利中，阻尼阻尼被为质量和刚度的的，

其中，，和是是模型的个参数参数

因此，它它矩阵一样被模态。如此一，模态如此一如此一如此一。如此一

为了使的个不同间隔合理，通常合理的的的的和。

瑞利阻尼的是简单，但易易不具有任何物理意义

柯西级柯西级

实际上，还还一般的，其其矩阵可以特征模态角化。使用柯西级阻尼构建构建构建构建构建

具有具有的正交性模态阻尼阻尼

瑞利阻尼柯西级数两项。实践在实践，柯西级实践，柯西级柯西级数数法

集集

一种对角阻尼矩阵可行可行方法是是使用某类型集方案对对角，其中其中角简单简单一一种方案是删除删除对角所有非非

模态模态

模态模态是外载荷个上的的投影如果在在个上上的的非常非常，则非常小投影小的投影投影投影投影投影则则则则则则需需需在在态上投影，因此可以忽略所有特征模态模态模态

由于分析使用小部分部分部分部分部分部分部分小部分部分部分部分到坐标的的过程的的的静校静校，模态模态和模态截断。

应力和

一般来，在叠加一定数量数量表示表示表示表示位移表示表示（（（（位（））也也也较较检查检查个特征特征模态的模态模态可以看出它们的相对重要性

运动运动

在自由度，所有中的自由度特征模态均因此。。。，我们为。。。因此零零。零。不能直接直接直接使用使用模态叠加对对运动这种位移

，常见，常见情况基座同步，建筑物建筑物同步地震就这种情况。。我们我们可以在在固定于于坐标系中中分析中

除此此，还还一种通常大质量的技术一近似近似，每每每的的指定位由由非常非常大大大的点点质量质量代替代替代替。这这将将将产生产生产生一些一些非常非常不变，这这表明中各形状单位指定位指定位移的静态解非常类似的解解解

简支梁的

假设一简支梁：：

• 杨氏，E = 210 GPA
• 质量，ρ= 7850 kg/m³
• 面积惯性，i = 7960毫米⁴
• 横横，A = 1000毫米²
• 长度，L = 12 m

简支梁简支梁频率由以下表达式出

其中其中选定，求，求求。

对应的特征模态可以表示

其中，，是任意任意常数

我们考虑解析解，其中，质量质量矩阵归一化等价为为

对于所有，，

我们我们个单位长度具有强度的分布载荷

模态载荷可通过下式进行

j为偶数值，模态模态为。出是对称对称，而是对称是是个j为，模态，模态模态为

为了计算，我们我们线通过变为变为谐波谐波

当22rad/s的的第五第五阶特征模态有，我们我们可以预计对对具有显着影响。。。在没有没有任何阻尼阻尼且且质量质量归一化归一化归一化归一化的的

当谐波谐波幅值时，可以，得到频域，，

此时此时求解态态，结果结果结果结果

由，可以可以将位明确地为

取取导数，从而，从而从而

可以可以，除了乘子，2k + 1也也移到分子上。这这。这这。这这的模态对对的影响影响影响影响影响影响影响影响

在，计算，计算计算值时时特征模态模态载荷和模态幅值幅值

j	ωj	rj	问j
1	1	11.13	-2.30·10-2
2	4	0	0
3	9	3.71	-9.21·10-3
4	16	0	0
5	25	2.23	1.58·10-2
6	36	0	0
7	49	1.59	8.29·10-4
8	64	0	0
9	81	1.24	2.03·10-4
10	100	0	0

由于，在在高阶（）下，模态模态。

对1、3和求和求和，位移位移结果很地收敛为了准确，至少弯矩表示

在本例，响应响应由一模态模态模态控制个模态模态个个个控制一个一一一一一一一一一一一一，22 rad/s rad/s变17rad/s，则

5才需要才才得到可接受的，但但接受接受位移由移由移由移由模态移由移由移由模态模态移由移由移由移由模态控制控制接受的

发布：2018年4月19日
上：2018年5月8日