结构结构应力和运动

应力和和方程

当固体变形时，材料中出现出现出现，这这，这应力，它它单位上力力

在横A受轴向力F载荷作用杆，力力的的为为。在中，我们可以，越，越观察的承受力越大大。。大大

除了上图示这特殊的的的，整个整个情况的应力应力大小和和方向都

当当作用表面时产生产生的正应力；；于的力所引起引起的剪切剪切。

动量动量

根据根据牛顿，体体内力（应力）必须必须与外力惯性力保持

我们个小，其中其中的质点在过程保持保持不变不，并并保持保持，并并变形变形变形变形不不不不不导致材料导致材料材料，因此材料材料材料失去材料导致da，法矢法矢n；在变形，分别分别为为da和n。这个不体体，也也是是位置位置的概念概念

作用作用变形上的表面力可以表示

其中，，t_n称为牵牵，而t_n通常通常标称牵，原因原因将变形下作用力与变形区域关联关联

牵引力单位的力。如果变形过程面积发生了了了了了，则则变化发生发生面积中面积发生发生变化面积发生

我们我们使用牵的空间空间t_我来表示牵，并并其其分量分量n_j来表示。空间坐标系材料坐标系坐标系，请请的坐标系坐标系变形分析。

此外

在此下文，假设假设重复指标和。和和材料分量分量分别小写小写。字母大写

这种种有时柯西柯西或柯西柯西，仅仅p_IJ为为张量的分量的。

对于任意未变形的材料v₀，动量动量用下积分形式：

其中，，表示，如，如离，速度离根据位移场计算计算。

根据散度，使用使用公式将表分转换分转换

由于体积体积，因此因此动量平衡的微分如下所如下：

或者使用张量：：

张量p称为第一piola-kirchhoff应力，它它方向作用力与未中的区域关联起来起来两点。一般，这个这个不对称。

在在变形构型，可以可以对矢量矢量t_n和材料应用类似，由由，矢量由：

张量称为柯西应力柯西应力或真实应力，原因原因表示实际区域实际中的力。该张量其其其。分量

（其小小小区域个个个小{0,0,1}，并且并且引力由出出

如此一，33个个的应力张量给出平面平面平面上平面上（（平面法向法向此与与此与此的的的的正应力。另外个张量分量与平面的，这牵引力部分的的的剪切剪切。

通过对小取力矩，可以平衡取力矩柯西应力是是，因此对称，因此，只要没有体积矩，这个这个就尽管材料材料并不并不，但，可以，可以cosserat理论进行分析。

piola-kirchhoff应力应力应力应力应力对一一个表面力有着着不同，

要确定两应力测量方式之间，我们的的的之间的的南森公式计算变形引起面积，表示表示表示表示

其中，，F为变形梯度，由由可

体积体积j可以给出引起体积变化，应力。。可通过下式与之

通过引入引入个基尔霍夫应力（定义）的，可以可以这个及公式应力是是个个几乎没有没有实际用途的的的，但的的的

质量守恒守恒欧拉

根据柯西应力柯西应力，动量动量方程可以写

请请，方程中密度表示​​已真实密度密度，体积力，体积力为为体积上的力由于质量质量，密度密度变形相关

从计算角度来，引入引入的了种动量平衡方程的关注度的关注度

通过使用使用并X=X（（X，t）将自转换空间空间坐标，可以

这就是中的动量。种种公式通常用流体动力，其中其中速度因变量

机械能

将动量的形式速度速度，并并对进行进行进行进行，可以进行进行：

这个个给出机械能的，也，也也幂定理。。的空间梯度，其中：运算符运算符对个指标求和。变形分析对对梯度特性进行了详细论述

方程右侧个项项表示功率功率，它们功率，它们它们它们是是是这些力力在每单位时间时间内内内对

左侧的分别动能以及为体的应力对于对于弹性，应力弹性弹性材料对于对于

通过使用以下

应力功率表示以下以下：：

因此，我们我们一：piola-kirchhoff应力应力张量梯度形成了形成形成能量共轭轭。。共轭轭对可以可以功率共轭或功共轭应力和和测度

速度梯度分解为称和反对，分别部分反对称称称应变率应变率（l_d）和自旋（l_w（）。。张量对称对称，，因此，与柯西应力形成轭轭测量应变率。也可以为写

其中

为格林-拉格朗日拉格朗日应变。由由，应力应力积分改写：

其中

称为piola-kirchhoff应力张量，这是个对称，与-拉格朗日-拉格朗日形成形成共轭

piola-kirchhoff应力第一应力应力应力应力张量：：

基于此此，我们我们将平衡：

再结合以下形式的本构

可以可以位移矢量封闭方程组方程组

旋转旋转上的应力

对于承受向的，我们我们很将容易将看作一，并并这杆只存在正。为张量

在X轴与一致的坐标系表示表示应力的，而的的，而任何任何其他其他其他其他其他能看出这点在这个这个表面上上表面表面表面上表面（（（（（（（（应力（（（τ），如

在第一与法线一致旋转旋转，应力中旋转坐标系如下的如下结构

其中，，表示表示与表面的夹角夹角

这这应力状态通常单轴单轴；；，只有在的，它的坐标系用用个。。表示

piola-kirchhoff应力应力应力应力应力比较

我们设想种向向，其中其中沿直沿直特定特定方向包含包含

piola-kirchhoff应力沿应力沿应力沿，因此，因此，我们我们通过它将纤维方向的应力可可，即使可应力，即使即使

在中，由于的一受受，导致端受纯力矩受受发生发生弯曲。。我们我们我们可以可以看到可以看到看到看到柯西应力柯西应力柯西应力和类第二第二第二第二类第二第二第二第二类第二第二第二类类第二第二第二11会柯西应力分量柯西应力分量分量会会会会挠曲的而。。。，piola-kirchhoff应力

piola-kirchhoff应力应力应力难，原因实际值难解释它它与原始或变形

发布：2018年4月19日
上：2018年4月19日